SÉANCE DU l6 MARS I9l4. 779 



quoiqu'on puisse traiter tout domaine convexe de la même manière. 

 Le tliéorème, que nous allons démontrer, est le suivant : 



Si la fonction f{x, y) est positive et convexe dans Q, et qu elle satisfait à la 

 condition 



on a 



f f ■^'^■''^y^'^-^''^y=\/l 



Le signe d égalité ne vaut que si la surface 



est une pyramide de base Q et de hauteur yô. 



La preuve, que MM. Franck et Pick ont donné pour la proposition 

 analogue concernant des intégrales simples, ne peut pas être étendue sans 

 modification au cas présent, comme on le voit facilement; il faut introduire 

 une idée nouvelle. On réussit moyennant un théorème de M. H. Brunn 

 devenu célèbre par les applications qu'en a faites H. Minkowski dans la 

 solution du problème isopérimétrique spécial. 



Partant du corps convexe K, limité par les plans 



X =z o, y = o, •: =r o, x =rr i , y r= 1 , 



et par la surface 



nous construisons un nouveau corps K,, symétrique relativement au 

 plan X — y r= o, limité par les plans 



X =r o, y := u, ; = O. 



et les deux cylindres 



:; = F(.r), :- = F(y), 



F étant une fonction non croissante. Ce corps K, est construit de telle sorte, 

 que chaque plan z = const. le coupe dans un carré égal à la section du 

 même plan et du corps K. Le théorème de M. Brunn énonce que le corps K, 

 est encore convexe. 

 Soit 



