SÉANCE DU 2.'3 MAHS 1914. 85l 



GÉOMÉTRIE. — Su/- les involutions n avant qii'un nombre fini de points unis, 

 appartenant à une surface algébri'iue. Note de M. Lucien Godeaux, pré- 

 sentée par M. Emile Picard. 



1. Soit F une surface algébrique possédant une involulion \p, d'ordre 

 premier yo, oo-, n'ayant qu'un wovahve fini de points unis. Soit <I> une surface 

 de Sr, d'ordre n, à sections hyperplanes de genre -, dépourvue de courbes 

 exceptionnelles, dont les points et les groupes de \j, se correspondent bira- 

 tionnellement. J'ai démontré récemment (Renfliconli délia Ji. Accad. dei 

 Lincei^ i"' sem. 1914) que /'mw/w/io/j I^, e.v^ cirA'ywe, quelles que soient $ 

 et F. 



Supposons actuellement que les. genres linéaires - ", yo'" respective- 

 ment de $, F, soient supérieurs à l'unité, et cherchons à déterminer les 

 singularités de<X> aux points de diramation. 



2. Soient |r| le système des sections hyperplanes de <î>, |C| le système 

 correspondant sur F, P un point uni de I^„ P' le point de diramation corres- 

 pondant sur $. Le point P, compté jd fois, forme un groupe de I^,, puisque 

 I/, est cyclique. 



|C| n'a pas de points-base, puisque |r| en est dépourvu ; son degré est np, 

 son genre /;(?: — i) -H i et sa dimension r (|C| peut évidemment être 

 incomplet). 



Lorsque P est un point uni parfait, c'est-à-dire lorsque tout point infi- 

 niment voisin de P, compté/? fois, forme un groupe de I^, on a nécessaire- 

 ment/? = 2. Pour le montrer, on considère les courbes C ayant un point 

 /j-uple en P et les courbes Y correspondantes. Celles-ci ont certainement 

 un point/?-uple en P', puisque sur chacune des courbes C considérées, il y 

 a/> groupes de I^ infiniment voisins de P. Leur genre est donc au plus égal 



à p{p — i). D'autre part, ce genre, calculé au moyen de la formule 



de Zeuthen, est t: — p -\- i. 

 On a donc 



■K—p + liu— -ip — l), 



d'où 



P=2. 



Lorsque P n'est pas un point uni parfait, il y a, dans le voisinage de P, 



