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deux points qui, comptés p fois, forment des groupes de I^. Désignons 

 par Cj les courbes C ayant un point yw-uple à tangentes variables en P, 

 par r„ les courbes correspondantes sur $. Le genre des courbes r„, calculé 



par la formule de Zeuthen, est t: — i {p -+- 1)- P est donc impair. Donc : 



Si p = 2, et seulemenl dans ce cas, un point uni est un point uni parfait. 



3. Supposons/) impair et considérons les courbes C assujetties à la seule 

 condition de passer par P. Soient C, ces courbes, F, les courbes correspon- 

 dantes. Soient /,, t., les tangentes à F, en P (supposé point simple de la 

 surface, ce qui n'enlève l'ien à la généralité) contenant les points unis de 1^,, 

 infiniment voisins de P. On démontre que les courbes C, ont un point 

 double ordinaire en P, dont les branches touchent respectivement /,, t.^^ et 

 ont entre elles des contacts d'ordre p — 3. Le point P' est double pour «!>. 



Considérons les courbes C, assujetties à loucher, en P, une tangente à F 

 diflérente de /,, t.,. Ces courbes ont nécessairement un point /j-uple à tan- 

 gentes variables en P, ce sont donc les courbes C.. On en conclut que P 

 est biplanaire et précisément composé d'un point double auquel font suite 

 un certain nombre t de points doubles et j'( = o ou i) point simple infini- 

 ment voisins successifs, ces t 4- i points étant en ligne droite (c'est-à-dira 



communs à tous les Fo). La formule de Zeuthen donne / = - — ^- La coi-i- 



paraison des degrés de j Fo | et | Co | donne i = \ -, donc : 



En un point de diramalion, $ possède un point double biplanaire composé 

 de - {p — i) points doubles et d\in point simple infiniment voisins successifs et 

 situés sur une même droite. 



Lorsque yo = 2, on sait que P' est un point double conique. 



4. On peut obtenir une limite supérieure de/) en fonction de/j''', t: ". On 



P 



i)_ 



a précisément /) = '-^^ Il suffit d'utiliser le ihéorcme de M. Fnriques 



7: 



d'après lequel le système canonique de F contient les courbes correspon- 

 dantes des courbes canoniques de <&, augmentée de la courbe (actuellement 

 d'ordre zéro) lieu des points unis de 1^,. 



5. Soit X le nombre de points unis de I^,. En un point de diramation, 

 $ possède une singularité abaissant la classe de cette surface de p unités, 



