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et q" quatre équations dont les deux premières sont d'ailleurs 



07"=. r', y" = y\ 



qui définissent une transformation (B3) remplaçant (e', ) par {t\) et inver- 

 sement. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations différentielles du premier 

 ordre et du premier degré. Note de M. Jules Dracu, présentée par 

 M. Emile Picard. 



I. Je voudrais indiquer ici, sur un exemple simple, comment ma théorie 

 de la rationalité peut s'appliquer à des équations différentielles qui dé- 

 pendent de fonctions arbitraires. 



Soit une équation 



où a et [3 sont des polynômes en y, dont les coefficients sont arbitraires 

 en a;; on sait qu'une transformation du groupe infini 



y^=— ^' ^ = j{-^\) 



(où a, h, c, d, fsonl arbitraires en x^) conserve la forme de (i) et qu'il est 

 possible par des opérations déterminées, comportant au plus des quadra- 

 tures, de ramener cette équation à une forme canonique où le nombre des 

 coefficients arbitraires est réduit à son minimum. Je me placerai tout de 

 suite dans le domaine (oc, y) qui correspond à celte forme canonique. 

 L'équation (i) canonique, ou mieux l'équation 



ne présentera de réduction que dans les domaines où l'un des inva- 

 riants 



ày dy \ ôy 



est rationnel en j'. 



