SÉANCE DU 3o MARS I9l4- 9'^7 



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Quand on exprime que l'un de ces invariants a une expression — où P el Q sont 



des polynômes en y de degrés déterminés, dont tous les coefficients sont des fonctions 

 arbitraires de x à choisir convenablement, on trouve pour déterminer les arbitraires 

 de A un système dilïérentiel (i), dont l'ordre croît avec les degrés de P et Q et qui 

 caractérise le domaine de réduction. Les coefficients de P et Q se déduiraient expli- 

 citement par des quadratures d'une solution du syslème ( — ). 



Supposons, pour fixer les idées, (3 dépourvu de facteurs multiples et ses racines 

 mises en évidence; les expressions de J el de I, par exemple, s'écrivent 



■ ,_ày _\\ dy' Z\dy\ S 



''- P R' (3 3\ p / '^|3R' 



où R est un produit de facteurs (r — a,), «, désignant une solution particulière 

 de (i); si l'on fait apparaître les termes de la décomposition de J et de I en fractions 

 simples ('), on peut former un système différentiel du premier ordre définissant tous 

 les éléments de J ou de I au moyen de a;, qui ne figure que par sa difîérentielle. Les 

 coefficients de « s'obtiendront ensuite explicitement. 



L'équation aux dérivées partielles, bien déterminée, qui remplace ce syslème 



(") "(/)-=^-*-^^-^---<^' 



et dont les coefficients sont rationnels par rapport aux éléments arbitraires de J, I, [3, 

 admettra des intégrales indépendantes de .r et une seule renfermant x linéairement 

 qui s'obtiendra par quadratures quand les autres seront connues. 



Or ces dernières, danii leur ensemble, expriment que les transformations projec- 

 tives subies par une solution z des systèmes (1) à une variable j', qui prend ainsi que 

 ses dérivées, en j',, des valeurs arbitraires indépendantes des coefficients de K, J, 1, 

 sont indépendantes de l'un de ces coefficients supposé variable. 



Ceci permet d'intégrer l'équation (II) par des intégrales définies lorsque K ou J 

 sont rationnels. Quand il s'agit de 1, on est ramené à exprimer que le groupe de 

 monodromie de l'équation linéaire 



^=-^1, 

 dy- 2 



où u.= i/— ^5 est indépendant de l'un des coefficients variables de I, en supposant 



\ ay 



les autres ou constants, ou fonctions de celui-là, et, en outre, que les périodes de 



l'intégrale := 1 -4 sont indépendantes du même élément. Nous avons donc le moyen 



déformer méthodiquement de proche en proche toutes les équations (i ) intégrables 

 par quadratures. 



Bien entendu, si K est rationnel, un certain nombre des intégrales de (II) expriment 



(') Il n'y a de partie entière que si /== oo est solution de (i). 



