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que les facteurs linéaires du numérateur de K s'annulent pour des solutions particu- 

 lières de (i). Le cas oii la solution générale de (1) s'écrit 



p{x) {y — (7, )"'i . ■ .{y — «/.)'"' ^ const., 



qui correspond à K =r -7^ ^ > ^— , a été traité complètement par MM. Painlevé 



dy ^uy-m ^ 



et Korkine. 



II. J'ai étudié en détail le cas le plus simple, 011-7^= pM-! (qui a donné 



lieu à de nombreuses recherches : Euler, Abel, Z. Elliot, MM. R. Liouville, 

 Appell, Darboux), en partant de la forme canonique d'Abel 



/A ^ '^y — ,^ "f^-^^ 



dx y 



qui possède la solution y = oc, et de la forme canonique de M. Appell 



(A,) g==^.3+4,(^), . 



011 aucune solution ne joue de rôle particulier, forme qui se transforme 

 aisément en la précédente quand on connaît une solution particulière. 



En dehors des cas, où J est rationnel en y, qui conduisent à la détermi- 

 nation des diverses périodes de / Kc?y comme intégrales de (II), on peut 



aussi traiter complètement certains cas oti I seul est rationnel. 



Par exemple, si I est le quotient de deux polynômes du troisième degré, 

 on a simplement 



^=-= avec 1 = j= ^^-^ et &)=C — .54a;'. 



Dans tous les cas, on traite d'abord le problèirie dans l'hypothèse oti le 

 dénominateur de K, J, I a ses racines distinctes; des considérations de 

 limites permettent d'étendre la solution. 



Une autre forme canonique importante [valable quel que soit A {y) 

 rationnel] s'obtient en écrivant que (i) possède les solutions o, i, x et a?. 

 Dans le cas du troisième degré, elle s'écrit 



dx x{x—\)(y — l)' 



oîi \ est à déterminer en x. 



Or, les premiers cas de réduction oii I est rationnel en y conduisent, 



