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aussi holomorphe dans le même domaine et que la série des dérivées /'J'(-) 

 d'ordre quelconque q converge vers la dérivée/'*' (s) à l'intérieur de D. 



Si les fonctions /„ (s) sont algébroïdes et finies dansD (c'est-à-dire si elles 

 admettent le caractère algébrique à tout point du domaine D et possèdent 

 dans D un nombre fini de branches), la série convergeant toujours unifor- 

 mément dans D, nous avons démontré que les fonctions-limites sont aussi 

 algébroïdes dans D. 



Il est bien naturel de nous poser maintenant les questions suivantes : 

 Quelles sont les singularités des fonctions-limites? Si un point r- du domaineD 

 est régulier pour une infinité de termes de la suite, il est aussi régulier pour 

 les fonctions-limites, grâce au théorème classique de Weierstrass, mais si 

 le point ; est singulier pour tous les termes de la série à partir d'un certain 

 rang, est-il aussi singulier pour les fonctions-limites? Les dérivées dey„(^) 

 n'étant pas toujours finies dans D, on ne saurait pas traiter un problème de 

 convergence dans tout l'intérieur de D de la série des dérivées /'„''\^-)'i 

 comment pourrait-on surmonter cette difficulté ? 



Pour répondre à ces questions j'ai établi les théorèmes suivants : 



Théorème I. — Soit 



(0(Z), (D.!{Z), ..., 9„(3) 



une série de fonctions algébroïdes à v branches finies et formant un seul sys- 

 tème circulaire dans le voisinage d'un point j„ {qui est un point critique de 

 toutes les branches de tous les termes de la série). Si cette série converge uni- 

 formément dans un domaine renfermant le point Zg, la condition nécessaire 

 et suffisante pour que toutes les hranches-limites soient holomurphes dans le 

 voisinage de z ■= z^ est la suivante : il faut et il suffit que toutes les branches 

 des dérivées de cû„(3), dont l'ordre n'est pas divisible par v, s' annulent à partir 

 d'' un certain rang, dans le imsinage du point z=z^. De plus, lorsquune 

 branche-limite est holomorphe en 3 = 3,,, il en est de même de toutes les autres 

 branches-limites . 



Soity(^) une fonction algébroïde dans le voisinage d'un point z = r-o et 

 considérons un système circulaire de branches dey(;:) permutables autour 

 de s = Sg et supposons qu'il soit formé de m branches; nous dirons alors 

 que le poids critique de chacune d'' elles est égal à m. 



Théorème II. — Soit 



(I) /.(^), fA^), ■••, A(-), ••• 



