SÉANCE DU 3o MARS ig\^. pSi 



une série de fonctions algébroides à ijl branches finies dans un domaine T)^ 

 convergeant uniformément à l'intérieur de D,et soit z =^ Zo un point intérieur 

 au domaine D et critique pour tous les termes (àpartir dhin certain rang) 

 d'une branche (' ) : 



(2) /„(_--). /h{--), •••, /,«(-), ••• 



de la série (i). La condition nécessaire et suffisante pour que la limite de ta 

 série (2) soit holumorphe dans le voisinage de z =: z-g est la suivante : il faut 

 et il suffit quil existe, dans le voisinage du point z^, des zéros de toute dérivée 

 def^j^(^z), dont l'ordre n'est pas divisible par le poids critique de ft,i{'') ^^ 

 z = ;:„, et cela pour tous les termes de la branche (2) à partir d'un certain 

 rang. 



On peut généraliser l'énoncé de ce théorème de la façon suivante : 



Pour que la série (i) admette une branche-limite holomorphe dans le voisi- 

 nage de z = 3(,, il faut et il suffit que, à partir d'un certain rang, une ou 

 moins branche de f„(~-) ou bien soit holomorphe en z = z„, ou bien jouisse de 

 la propriété suivante : Toute dérivée de cette branche f„(z), dont l'ordre de 

 dérivation n'est pas divisible par le f)oids critique def,^(^z), admette des zéros 

 dans le voisimige du point r„. 



2. Théorème III. — Soit 



(3) /,(--), Mz), ..., /„(=) 



une série de fonctions algébroides ci v branches finies dans un domaine D, 

 dans lequel il n^ existe que ^j. points critiques c,, c.,, c,, . . ., c^. des fonctions de 

 la série (l'entier u. étant quelconque) et posons 



P (z) ^ (z - c) (z - c,) {z - c) . . . ( z - c^). 



si la série (3) converge uniformément dans le domaine D vers les branches- 

 limites 



F,(c), F,(3), ..., F,(.-), 

 la série 



P{z)f[{z), P(z)f,(z), .... P{z)fUz) 



converge, à l'intérieur du domaine D, vers les branches-limites 



P(^)F',( = ), P(^)f;(=). ..., p(.-)f;(.-), 



(') Voir ma Noie préccdeiUe Sar la convergence des séries des fondions analy- 

 tiques (Comptes rendus, séance du 26 janvier igki4)- 



