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a une épaisseur égale à un en a\. /sera dile approximalivement continue 

 dans un intervalle., si elle Test en chaque point de l'intervalle. 



Une propriété importante de ces fonctions est que toute fonction continue 

 de l'une d'elles est encore approximativement continue. 



Supposons y bornée. Il est visible que l'intégrale besgienne de/ dans un 

 intervalle a[i entourant a"(, est égale à a.^\f{x„)-\-ri\.,r^ tendant vers zéro 

 avec a^, quelle que soit d'ailleurs la façon dont a et ^ séparément tendent 

 vers x„. De là ce théorème : Une fonction bornée approximalivement 

 continue est une fonction dérivée. Et de même, si une dérivée bornée est 

 approximalivement continue, toute fonction continue de cette dérivée est, elle 

 aussi, une fonction dérivée. 



Je vais donner des exemples très généraux de fonctions prenant les deux 

 signes dans tout intervalle, mais approximativement continues et bornées, 

 donc partout identiques à des dérivées de certaines fonctions continues ('). 



Soit un ensemble dénombrable de points a„ partout dense sur un inter- 

 valle ab. Considérons la série 





•^ \^\x — a„ i 



= 'S U„(j.'). 



Si les A„>sont des constantes positives, la série précédente n'est nulle part 

 convergente si la série A„ ne l'est pas. Je dis que si A„ converge, la 

 série Un{x) converge partout, sauf en un ensemble de mesure nulle. 

 En effet, l'intervalle où //„ surpasse 2A„ a pour milieu «„ et pour lon- 

 gueur -;7^- Donc l'ensemble w^, des points a: où l'on a au moins une fois 



pour n^j), ;/„>2A„ a une mesure totale inférieure à -j;zri- L'ensemble 

 des X où l'on a une infinité de fois u„'^iA„ est l'ensemble commun 

 aux (Jij,. 11 a donc une mesure nulle. Ajoutons-lui les points a„. En tout 

 point ^ du complémentaire ù de l'ensemble total obtenu, les «„ sont tous 

 finis et à partir d'un certain rang tous inférieurs à 2A„. Les u„ convergent 

 donc en H. Je désigne parg(^) la somme de "la série ?/„(^). g(x) sera -f- 30 

 aux points étrangers à Q,. 



Je dis que g{x^j est approximativement continue en tout point ^ de O. 

 Soit £ un nombie positif. Montrons que pour tout nombre donné y], il est 

 possible d'entourer ^ d'un intervalle ^ — a, H + a où l'ensemble des points 

 tels que \g(x) — g(^) | >£ ait une mesure inférieure à 2r,a. 



(') VoirKoi'EKE, A/at/i. Ann., 1887. 



