SÉANCE DU 6 AVRIL 19l4- IOo5 



D'abord, g(.r) est semi-continue inférieurement en E, aulrcnienl dit il 

 existe un intervalle ayant $ pour milieu et où ^(a;)>g'(^) — i en tout 

 point. 



En effet, la série UnC^) étant convergente, nous pouvons prendre/? assez 



grand pour que '^,('0 + •••<;• Alors, g-(i)<2 "''(^) + i " ^''' *^^ ^ 



étant distincts des a„, la fonction ^ «„(^) est continue en l. Je peux alors 



r r 



déterminer un intervalle de milieu ^ et où ^ î<„(^)>2 //„(^) — -• Or 



on a toujours ^•(f)>2"n(-^)- En réunissant ces inégalités, on établit la 



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 semi-continuité inférieure de g(-v'). 



Montrons donc qu'il existe un intervalle ^ — a, S + oc où l'ensemble des 

 points définis par g(^) — g{^)^^ a une mesure inférieure à 2Y]a. Exa- 

 minons l'ensemble des points x où l'on a m„(j;)> 2w„(E ). C'est l'intervalle 

 défini par l'inégalité : | a? — « „ | > '^ ~,^" ' ■ Déterminons ^indépendamment 



de X par l'inégalité -;^ < yj, el cboisissons q supérieur à r et tel que 



i'q+,{^) ■+■ • • • < 7- L'expression "S ii„(x) est continue en l. Je peux donc 



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 déterminer un intervalle y", soit ^ — a à ^ + a, où en tout point x, 



^ujx)<^y ii„(l) -h^- Supposons qu'en un point v intérieure cet 



intervalle on ait w,„(y) > 2m„,(H). La parlie commune à y' et à l'intervalle 

 de centre a„, où l'on a u,„{x) > 2«„,(^) est certainement inférieure à ^^t^^^- 

 Donc l'ensemble des points y intérieurs ày et où, pour au moins une valeur 

 de m supérieure à r/, on a ?/„/ v) > 2 w,„(E), est inférieur en mesure 

 à -^<C ^^'']y-- OT) en tout autre point x dey, on a, pour toute valeur de m 



supérieure à^, u,„(x)^-2U,n(^)^ donc \ '/,„(.»-') < -• Donc enfin 



'/ 



en un ensemble d'épaisseur sury' supérieure à i — ïj. 



