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En résumé, la fonction g{x) est partout approximalivcmenl continue, 

 on en déduit sans peine que la fonction G(x) = e"^W comprise entre zéro 

 et un, nulle au complémentaire de il est une fonction dérivée s'annulant 

 dans tout intervalle, et jamais négative. 



La fonction ««""^''^ où a est positif et [3 réel, étant continue en u, positif 

 ou nul et d'argument nul, la fonction [G(:r)]'*"^'^ est une fonction dérivée 

 dont la partie réelle et la partie imaginaire prennent évidemment les deux 

 signes dans tout intervalle. 



Si la série «„+ iv„ est absolument conçergente, u,^ étant toujours positif et 

 v„ non nul, quelle que soit la répartitio7i sur un segment fini des points a„, les 



fonctions e ' ' ' ~"" ' "■ " , Jl \x — a„\ ''" ont pour parties réelles et pour parties 



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 imaginaires des fonctions dérivées bornées, prenant les deux signes dans tout 

 intervalle contenant au moins un point a„. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la forme intégrale des équations de Monge- 

 Ampére. Note de M. A. IJuiii-, transmise par M. Emile Picard. 



Dans ma Note du 2 février, j'ai dit que toute équation de Monge- 

 Ampère pouvait se mettre sous la forme intégrale 



(i) f f Qdxdy= fp dx + Q dy + R r/s + S dp + T dq 



et je consacrerai un prochain Mémoire à l'élude d'une telle transfor- 

 mation. Celle-ci dépendant d'une méthode générale, il peut paraître théo- 

 riquement superflu de l'appliquer à de nombreuses équations dès qu'on l'a 

 fait pour quelques-unes. Mais les résultats explicites ont cependant des 

 intérêts divers, les équations ( i) pouvant contenir des éléments arbitraires 

 qui, suivant les cas, n'ont point explicitement la même forme. Je ne puis 

 mieux faire que de citer un exemple qui est l'un des plus intéressants que 

 je possède actuellement. 



Soient les surfaces applicables sur la surface :; = /'(^x, y). Elles satisfont 

 à une équation de Monge-Ampère donnée par M. G. Darboux (Surfaces, 

 t. III, p. 262). Pour équation (i) correspondante, en posant 



