SÉANCE DU 6 AVRIL IQlA- IOO9 



2. Dans le cas de l'espace, il n'est, pas possible d'obtenir des résultats 

 aussi simples. La formule de Green ramène aisément le problème à l'élude 



des fonctions -r-gii et Yi\, M étant un point de la surface considérée. 



M. Cisotli (Rend, del Cire. mat. Palermo, 191 1) a formé une expression 

 asymptotique de y,*, telle que la différence entre y,*, et cette expression reste 

 linie ainsi que ses dérivées premières. La méthode de M. Cisotti peut être 

 étendue au cas où l'on cherche une expression asymptotique telle que la 

 différence entre y*, et cette expression reste finie ainsi que ses dérivées jus- 

 qu'à un ordre donné quelconque. J'ai obtenu le même résultat par une 

 méthode entièrement différente, dont je vais indiquer l'application à l'étude 



asymptotique de ^g-^ 



Considérons la fonction cp(A, M) définie par les conditions d'être 

 une fonction harmonique de A, de prendre sur la surface étudiée S les 



mêmes valeurs que — ;t- ( - ) ' (^ désignant la dislance AM), et que le pro- 

 duit r^(A,M) reste fini à l'intérieur de S. On démontre aisément qu'il 

 existe une telle fonction et une seule. Formons l'intégrale 



rJfM'-^^'A 



/(M)^«, 



d'à) élanl l'élément d'aire décrit par le point M. Elle représente une 

 fonction harmonique du point A, égale à /'(A) sur la surface. On en déduit 

 que 



d- 





/■ 



an an 



de sorte qu'on est ramené à l'étude de ^(A, M). 

 Or on peut obtenir un développement de la forme 



(i) - ©(A, M) =: r_,-i- ('o + . . .+ 1^4- R 



P+\^ 



les fonctions r, et R, étant finies ainsi que leurs dérivées jusqu'à l'ordre i, 

 et les fonctions v étant des fonctions élémentaires faciles à former. Com- 

 mençons par observer que, si l'on a obtenu un pareil développement par 

 un procédé quelconque, il suffit, pour vérifier que R^^, jouit bien de la 

 propriété indiquée, de vérifier que les valeurs de W,,+i sur la surface sont 

 finies ainsi que leurs dérivées jusqu'à l'ordre/? -h 2. Il en est alors de même 



G. R., 1914, 1" Semestre. (T. 158, N" 14.) l3o 



