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à l'intérieur des dérivées de cette fonction jusqu'à Tordre yo + i et de celles 

 de Rp^i = p,;+i + Ry,+2- I-'GS valeurs de cp(A, M) sur la surface étant connues, 

 par la définition même de cette fonction, on conçoit qu'il est facile d'obtenir 

 un développement en série de la forme (i) sur la surface, et si les termes de 

 ce développement sont les valeurs sur la surface de fonctions harmoniques 

 simples, le problème posé sera résolu. 



Or ce résultat peut être obtenu par l'introduction des fonctions harmo- 

 niques de la forme 



l'axe O: étant la normale à S en M, z étant compté positivement à partir 

 de M vers l'intérieur, Up et h^ étant des polynômes homogènes de degré p 

 en ret z, et le premier de ces polynômes ne contenant que des puissances 

 paires de ;■. Par ces propriétés, u^ est déterminé à un facteur constant près 

 lil/ip à un multiple près de Up. Kn déterminant convenablement ces para- 

 mètres, on a —r^ = «„_,, —r^ = U;^_. et — ^' = -, relations qui facilitent 

 ' dz ' az ' az r ^ 



l'étude de ces fonctions. 



Les fonctions c, que nous nous sommes proposé d'obtenir peuvent être 

 aisément obtenues par des combinaisons linéaires de fonctions U^, en 

 nombre iini et de leurs dérivées par rapport aux coordonnées du point A. 



Observations au sujet de la Note précédente ; par M. Hadamaiid. 



La Communication de M. Paul Lévy résout avec une élégance et une 

 simplicité vraiment inattendues, pour le plan, une question qui avait 

 toujours gardé un caractère un peu mystérieux. 



La solution suivante du même problème, sans prétendre à rivaliser, à 

 aucun égard, avec le résultat si remarquable qui précède, méi-it€ peut-être 

 d'être signalée. 



Soient 



(1) or = /{(). Y = g(l) 



les équations de la courbe qui limite l'aire donnée au voisinage d'un point 

 déterminé P de cette courbe; supposons cette courbe analytique, toujours 

 au voisinage de P, de sorte quey, g sont des fonctions holomorphes. Il en 

 sera de même de 



(2) .X + iy:^Z=zF{l)=:f{t) + is{ij 



