SÉANCE DU 6 AVRIL I9l4- ÏOII 



et même \/'(t) et ^'(0 "^ devant pas, comme on sait, être simultanément 

 nuls en PJ de la fonction inverse 



(3) t + iu^(b{z)=^cf{x,f) + iJ^(x.y), 



(3) définit une représentation conforme dans laquelle l'arc du contour 

 considéré qui avoisine le point 1^, est transformé en un segment de l'axe 

 réel('). Sur l'aire ainsi transformée, la fonction de Green relative aux 

 points (/,,«,), (tojU^) est de la forme 



(4) log , „ log , +G{e^.t.,u,, II.,), 



G étant holomorphe (au voisinage du point qui correspond à P) par rapport 

 aux quatre variables quil contient, en vertu d'un théorème que j'ai précé- 

 demment établi (-). 



La formule (4), qui donne également la fonction de Green pour l'aire 

 primitive ('), donne la solution du problème posé, solution qui met bien 

 en évidence le théorème en question (à savoir que la partie singulière de la 

 solution dépend exclusivement de la forme de la courbe dans sa partie infi- 

 niment voisine de P), puisque /,, ?/,, t.,^ Uo se développent en séries ordon- 

 nées suivant les puissances de a\ — x„, y, — y„, x., — x^, y-i — y», ^^ dési- 

 gnant par x'ojjo les coordonnées de P et para7,,j,, ^21/2 celles des deux 

 points A, B qui figurent dans la fonction de Green, les coefficients de ces 

 développements pouvant se calculer (à l'aide de méthodes classiques du 

 calcul différentiel) lorsqu'on donne ceux des développements de Taylor 

 àe/(t),g(t). ^ . . . ■ 



Le problème hydrodynamique se ramenant immédiatement, comme on 

 sait, au problème de Dirichlet lorsqu'on est dans le plan, cette méthode 

 s'étend sans difficulté à la fonction de Neumann. 



En ce qui concerne la solution même de M. P. Lévy, il peut être utile 

 de remarquer que, si le contour C est convexe, le signe de la différence 

 oB ~ 9b est également connu. 



(') On peut toujours supposer l'aire donnée assez petite pour que la transfor- 

 mation (3) y soil bien indiquée. Il suffit de remplacer la portion de contour non adja- 

 cente à A par une autre. Ceci n'altère pas la solution, à cause du théorème cité dans 

 le texte. (Voir la Note ci-dessous.) 



(■-) Mémoires des Savants étrangers, 1907. 



{') Le premier terme peut être remplacé par log - 1 la difTé- 



rence étant holomorphe. 



