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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les zéros de la fonction 'C(s) de Riemann. 

 Note de M. G. -H. Hardy, transmise par M. J. Hadamard. 



1. MM. H. Bohr et E. Landau ont donné tout récemment (' ) la démons- 

 tration que la plupart des zéros complexes de 'C(s) sont situés, quel que 

 soit S positif, dans le domaine S<;a-<[ — h S. Je me propose main- 

 tenant de démontrer que, parmi les zéros de 'C(s), il y en a une infinité sur la 

 droite a = - ( - ) . 



Je pars d'une formule connue de M. Cahen ("), savoir 



e-''=r— ■/ T{u)y~"da [«(/)> o, /.> o]; 



d'où l'on déduit immédiatement 





1 



I -t- 



2 



Je prends maintenant pour chemin d'intégration la droite (r = 7- En 

 faisant application du théorème de Cauchy et des formules de Riemann 



où S(/) est réelle pour t réel, on est conduit à l'équation 



4 



Dans cette équation, je pose j = ire"*, où -û <[ a <^ - t:, et 



^— :> — -- g— TTCOsa — /Tïsina -— - ^7t/T-— Q —- Qf^'*^ ' 



(') Comptes rendus, 12 janvier I9i4- 



(^) J'ai communiqué déjà ce résultai à la Société mathématique de Londres (séance 

 du 12 mars I9i4). 



(^) Thèse {Annales Ecole Normale supérieure, 1894, p. 99). Celle formule a élé 

 retrouvée par M. Mellin {Acta Soc. Fennicœ, t. XX, n° 7, 1895, p. 6) qui en a fait 

 des applications intéressantes. 



