SÉANCE DU 6 AVRIL 1914. IOl3 



et j'obtiens la formule 



(2) / — ^ dt—Ticosycf. Tre* !'('/), 



k 

 OÙ 



F(7)=. + 2V^"'^^3(0, T). 

 1 



Enfin, en différentiant ip fois par rapport à a, on a 



(3) / ^-- ^.= -^^cos^-.-^-^j !_-... F(,)J, 



7 -I- qi 

 4 



2. Je vais me servir maintenant d'un lemme tiré de la théorie des fonc- 

 tions elliptiques. Je suppose que a tende vers -î:, de sorte que q tende 



vers — I suivant un chemin tangent au rayon $ = tt. Cela étant, je dis 

 que le dernier terme de l'équation (3) tend, quel que soit/>, vers la limite 

 zéro. Pour cela, il suffit évidemment que toutes les fonctions 



tendent vers zéro. Mais cette dernière proposition se déduit comme corol- 

 laire des théorèmes généraux qu'on doit à MM. Bohr et Marcel Riesz, au 

 sujet de la sommabilité des séries de Dirichlet. 

 La série 



i-'-H o + o — 4"^H-o + o -1- o -H o -)- f/-*4-o-)-. . ., 



convergente pour o' ]> o, représente la fonction 



régulière dans tout le plan et d'ordre fini dans tout demi-plan a^ a-„. La 

 série est donc sommable, pour toute valeur de ^, par les moyennes de 

 Cesàro d'ordre assez élevé; et pour s entier négatif, elle a la somme 



(l -2'-2^)Ç(25) = 0. 



3. Il s'ensuit que, quand a tend vers -tï, l'intégrale (3) tend vers la 



l I ^''TT I 



limite — /o^, ' coSpTT. Supposons maintenant que S(2i) garde un signe 



