SÉANCE DU 27 AVRIL IQI^- ''47 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur certains systèmes d'équations aux dérivées 

 partielles du second ordre à deux variables indépendantes. Note de 

 M. J. Clairin. 



Toutes les lettres ayant leur signification ordinaire, représentons par /, 

 cp, cî trois fonctions de x, y, :•, p, q; l'équation 



( I ) df — ro t/cp =r o 



se décompose en 



I [df d'^\ l ôf d<s>\ df ôf ;do d<^\ 



^^^ ] 1 Of d(i>\ [ôf d'^\ df df id'ù ôr^\ 



il est naturel de rechercher si, réciproquement, un système 



I s +l(a:,y, z,p, q) t + 8{x,f, z,p,q) = 



peut toujours, quelles que soient les fonctions f., u., 0, être mis sous la 

 forme précédente. 



En exprimant l'identité des systèmes (2) et (3), il vient trois équations 

 entre A, a, 0,y, cp, nr; cette dernière fonction s'élimine immédiatement et 

 il reste deux équations aux dérivées partielles du premier ordre pour déter- 

 miner/et -p. Les théorèmes généraux de Cauchy ne s'appliquent pas à ces 

 équations, mais un raisonnement presque identique à celui que j'ai 

 indiqué (') dans l'étude d'un système analogue permet d'établir l'existence 

 de deux intégrales y^et cp des équations obtenues; le système (3) est donc 

 toujours équivalent à une équation telle que(i). 



Considérons spécialement le cas où les équations (3) sont efl involution; 

 pour que cette circonstance se présente il faut et il suffit que /, ç, gt satis- 

 fassent aux conditions 



(4) [/. ?]=o, [/, ro] — ro[9,ro]=o. 



Ces résultats nous fournissent une méthode pour former tous les systèmes 



(') Annales de l'Ecole Normale supérieure, 3^ série, t. XXX, igiS, p. i85 et 

 suivantes. 



