SÉANCE DU 27 AVRIL lt)l4- 1^49 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Nouvelles évaluations de distances dans l'espace 

 fonctionnel. Note de M. W. Blascdke ('), présentée par M. Emile 

 Picard. 



Le but de la Note présente est la résolution du problème suivant : 



Déterminer la fonction f{x) convexe positive et normée^ dest-à-dire satis- 

 faisant à la condition 



I »( j;)'rf,r = I, 

 - 



de sorte que la valeur de l'intégrale 



soit aussi petite que possible. La fonction S^/ij:) est supposée continue, du reste 

 arbitrairement donnée. 



Nous ramènerons ce problème à un problème de minima élémentaire en 

 démontrant la proposition suivante : 



La fonction '-^(x), qui fournit le minimum, appartient toujours au système 

 des fonctions 



^y/3 — 5 pourar£<, 



= ^ , poarxtt. 



Chacune de ces fonctions continues, normées, spéciales correspond à une 



valeur fixe de t(o^t^i), et la courbe 



^\ 

 y=z<:f{x,t) 



est composée de deux parties rectilignes. 



La démonstration se fait par une représentation des fonctions convexes 

 positives au moyen des intégrales, que je trouvai en m'appuyant sur une 

 communication verbale de M. G. Pick. C'est qu'on peut représenter chaque 



(') Cf. Fh. Frank et G. Fick, Comptes rendus, t. 138. igi'^ P- '<-'4- 



