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fonction convexe et positive par combinaison linéaire des <p, comme il suit : 



<ï>(^) doit être non décroissante, mais peut être discontinue, et l'intégration 

 est entendue au sens de Slieltjes. cp (a?) étant donné, on trouve pour $(/) : 



r' 



<b{l) —. )= / l(\ — /)d(f'{l), pouro<<<i, 



V/3./, 



2 



4>(o) = Lim r <(i- 0«^ffl'(0 - ^^' a»(i)=Lim / l{i- i)d(f'{l)+'^, 



i 2 



l'intégration étant entendue encore au sens de Stielljes. Il suffit de prendre 

 ici pour f'(x) la dérivée à gauche de la fonction convexe cp(a:). 



En représentant les fonctions comuie points de l'espace fonctionnel, on 

 peut énoncer ledit résultat comme il suit : L'ensemble des points représen- 

 tant les fonctions positives convexes normées <fÇ^) se trouve sur la sphère 



/■ 



{■r)'^ dxz:^ I, 



et n'est autre chose que le plus petit domaine convexe sphérique contenant 



la courbe, qui représente le système des fonctions cp. A ce point de vue, 

 la proposition à prouver est déjà fort plausible. Nous la démontrons rigou- 

 reusement comme il suit : 

 On a 



1—/ (f{xydx—l I I 'fi{x,s)(f{j:,t)d^{s)d<P{t)dx. 



'0 *- *- 



Si Ton exécute d'abord l'intégration relative à x, et si l'on prend en consi- 

 dération la relation 



J' <f(.r, s) <f{x, t) dxSi, 

 n 



qui a lieu, d'après M. H. -A. Scliwarz, en vertu de la normalisation des 

 tonctions cp, il s ensuit 



f d<i>{ 



^ ' "^{l)\^i, 



