SÉANCE DU 27 AVRIL I9l4- 1 1^^ ' 



OU bien 



f d1>it)li, 



rintégrale étant positive. 



Soit /„ la valeur de /, qui rend la fonction 





f(x,t)<li{x) dx 



aussi petite que possible. De sorte qu'on a 



/ ^{x,t)<\i{x)d.vùi cp(x, <o)4/(.T)rfj-. 

 Alors on a 



/ (f>{x)'\i(x)dx= I I "^{x, C)'^{x)d<b(t)dx 



= f d<P(t) I 9(^, '\i{x)dxlf d(b(t) I 9(a^, to)'\'{^)^-'^- 

 Nous obtenons donc, en vertu de l'inégalité antérieure, le résultat désiré 



/ i:f(x)<\/(x)dxç:j <f(x, t„)<]i{x)dx. 



Il y a diverses applications de ce théorème. Par exemple, on peut l'ap- 

 pliquer à la démonstration des propositions indiquées par MM. Frank 

 et Pick dans la Note citée plus haut, ou à la détermination des minima des 

 coefficients du développement trigonométrique d'une fonction positive, 

 convexe et normée. Des réflexions analogues à celles exposées résolvent le 

 problème plus général : « Déterminer une fonction positive convexe satis- 

 faisant à la relation 



f (o{xy k{x)dx = i [A(^)>o], 



de sorte que l'intégrale 



J< (if{x)<\i{x) k{x) dx 

 u 



soit aussi petite que possible. » 



L'arc de courbe des © dans l'espace fonctionnel a la longueur totale t: et 

 la courbure première constante égale à 2 ('). 



( ') Cf. G. KowALEWSKi, Comptes rendus, t. 151, 1910, p. i38i. 



