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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Formule d'interpolation pour la dérivée d'un 

 polynôme trigonométrique. Note de M. MAitcEi, Riesx, présentée par 

 M. Emile Picard. 



1 " 1 . Considérons un polynôme trigonométrique d'ordre n au plus 



F(cp) =«„ cos «9 -f- b„ sin «cp + . . . -t- a,cos9 H- 6,sin cp + a,; 

 posons 



I 3 s / — I _ 4 « — < 



■' 2« ^ 2« 2« 2/i 



On a alors 



2n 



(•) F'(?) = ^2]^('^ + '^=^ 



(-.)'•+' 



• 9 T ' 



2 



2° Cette formule conduit immédiatement au beau théorème suivant, dû 

 à M. Serge Bernstein : 



Et tint donné un polynôme trigonométrique d'ordre n au plus tel que 



. |F(9)|^M 

 pour toutes les valeurs de i:^, on a pour toutes ces valeurs 



(2) F'(cp)<M« 



le signe d'égalité étant exclu dans la dernière formule, sauf dans le cas 

 où F(<p) est delà /orme F((p) = M sin/i(cp — co) = M cos«U— j^ — « j ('). 



En effet, posons en particulier au lieu de F 



G(e) = s\n,i{e-(f); 

 on aura évidemment 



G'(cp) = «. 



(') En réalité, M. Bernstein ne démontre la relation (2) que dans le cas où le 

 polvnome ne contient que des cosinus ou des sinus. H en déduit pour le cas général 

 I F'(cp) 1 < 2 M«. Cependant, M. Fejér, dans un travail où il donne une application 

 très importante du théorème de M. Bernstein, avait déjà observé que le résultat de 

 M. Bernstein concernant un polynôme de sinus conduisait facilement à l'inégalité (2) 

 aussi dans le cas général [Ueber konjugierte trigonometrische Reihen (Journal de 

 Crelle, t. 144, p. 5o)]. 



