SÉANCE DU 27 AVRIL I9l4- 11^3 



En substituant d'autre part G(0) dans la formule (i) et en observant 

 que pour les valeurs o -h 9^ cette fonction est ég^ale à ± i avec des signes 

 alternés, on obtient 



Celte relation montre que les inégalités |F (s -+- 9r)l = M étant satisfaites 

 pour une valeur particulière de 9, on a 1F'(9)|<M«) sauf dans le cas 

 où F(9 + 9;.) = ±: M avec des signes alternés lorsque r varie de 1 à in, 

 le signe d'inégalité devant être remplacé par celui de l'égalité dans ce 

 dernier cas. Si l'on suppose en outre que | F (0) 1 5 M pour toutes les valeurs 

 de 0, les relations F(9 4- 9^) = ± M (avec des signes alternés) entraînent 

 évidemment que F(0) :•= ± M sin/2(0 — 9). 



3" Le résultat ci-dessus établissant une relation entre l'ordre de grandeur 

 des valeurs F(9 -t- 9^) et F'(9) est manifestement, sous un certain rapport, 

 plus précis que le théorème de M. Bernstein. En le combinant avec la 

 méthode que M. Fejér applique dans son travail cité, nous obtenons le 

 théorème suivant, analogue à un théorème de M. Fejér (Th. V, loc. ctt.) : 



1 [. Supposons que la fonction représentée par la série entière ^la,, z" à V inté- 

 rieur de la circonférence |z | = i soit conlinui' sur cette circonférence. Suppo- 

 sons de plus que, par exemple, la partie réelle de la série converge uniformé- 

 ment dans toutes les racines de r unité. Alors sa partie imaginaire convergera 

 aussi uniformément pour toutes ces valeurs. 



En combinant d'autre part notre théorème I et la méthode de M. Fejér 

 avec un théorème bien connu de M. G. Cantor sur les coefficients d'une 

 série trigonométrique convergeant dans un intervalle et un théorème bien 

 connu de M. Tauber, on arrive à la généralisation suivante du théorème 

 cité de M. Fejér : 



III. Supposons que la fonction représentée par la série entiért "ï^a^z" à 

 l intérieur de la circonférence \z\ = i soit continue sur un arc de cette 

 circonférence et que, par exemple, la partie réelle de la série converge unifor- 

 mément sur tout arc intérieur à cet arc. Alors la partie imaginaire aura la 

 même propriété. 



4° Je n'insisterai pas davantage sur les applications de la formule d'interpolation , 

 je préfère ajouter quelques mots sur la vérification de cette formule. Klle se déduit 



G. B., igil, I" Semestre. (T. 158, N= 17.) 1I9 



