SÉANCE DU 27 AVRIL I9l4- Il55 



CINÉMATIQUE. — Sur les surfaces susceptibles d'être engendrées de plusieurs 

 façons différentes par le déplacement dhine courbe invariable. Noie de 

 M. Bertrand Gambier. 



1. Soit une surface S susceptible d'être engendrée par le déplacement 

 d'une courbe invariable C : au cours de ce mouvement, les divers points 

 M,, Mo,.. . de cette courbe C décrivent des trajectoires tracées sur S, soit 

 T T 



Si la surface S est susceptible d'être engendrée d'une façon différente 

 par le déplacement d'une nouvelle courbe invariable C, nous définirons 

 les trajectoires analogues T,, T„, . . relatives aux divers points M,, M^, ... 

 de C. 



Pour une surface de translation, lescourbesï coïncident avec les courbes 

 C, les courbes T' avec les courbes C et il est facile de voir que réci- 

 proquement cette double coïncidence caractérise les surfaces de trans- 

 lation. 



Mais il peut arriver qu'une seule de ces deux coïncidences se réalise, 

 c'est-à-dire que les courbes T, par exemple, soient égales entre elles. Il y a 

 donc lieu d'étudier tous les mouvements à un paramètre au cours desquels 

 une ou plusieurs courbes C fixées au trièdre mobile donnent lieu à des 

 trajectoires égales : chacune de ces courbes C engendre dans le mouve- 

 ment correspondant une surface S sur laquelle on peut tracer deux 

 familles de courbes égales (dans chaque famille). J'en donne un exemple 

 fort simple. 



2. Deux cylindres de révolution A et B de rayon R et r respectivement 

 sont tangents le long d'une génératrice : faisons rouler sans glisser A sur B : 

 tous les points d'un cylindre A, de rayon R,, coaxial à A et invariable- 

 ment lié à A, décrivent des épi- ou hypocycloïdes, raccourcies ou allongées 

 suivant le cas, toutes égales entre elles. Je trace sur le cylindre A, une 

 courbe C arbitraire : elle engendre dans le roulement une surface S de 

 l'espèce indiquée. On obtient ainsi une infinité de surfaces dépendant d'une 



fonction arbitraire d'une variable et des rapports numériques -^^ -^- 



