II 56 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Si ^ est commensurable, le mouvement est algébrique et Ton peut obtenir 

 une infinité de surfaces S algébriques ou unicursales. 



3. Ces surfaces possèdent un second mode de génération de même nature 

 qui nous permet de tracer sur chacune une nouvelle famille de courbes 

 cylindriques C égales, les trajectoires étant les mêmes que précédem- 

 ment. 



Supposons en effet les axes des cylindres verticaux : les divers points de 

 la section de A, par le plan horizontal décrivent des courbes / égales entre 

 elles et égales aux courbes T. Nous reconstituons la surface S en imprimant 

 à chacune des courbes t une translation verticale, puis une rotation autour 

 de l'axe de B, la translation et la rotation étant liées par une relation conve- 

 nablement choisie. Or nous savons qu'il existe un second mouvement épi- 

 ou hypocycloïdal engendrant les mêmes courbes t : le cylindre fixe B' de ce 

 nouveau mouvement a même axe que B : on fait rouler sur B' un cylindre A' 

 auquel est lié invariablement un cylindre A', de même axe : la surface S 

 sera engendrée par le déplacement d'une courbe C tracée sur A,. 



4. On doit à M. Kœnigs l'importante notion des mouvements double- 

 ment décomposables. Chacune des deux générations précédentes conduit à 

 un tel mouvement, obtenu par un mécanisme très simple. Les surfaces de 

 notre exemple possèdent donc la propriété curieuse de pouvoir être engen- 

 drées de deux façons différentes dans un mouvement doublement décompo- 

 sable. 



Imaginons en effet les cylindres A et B réalisés matériellement sous la 

 forme d'étuis cylindriques creux, de rayon externe R et /• respectivement 

 et d'épaisseur négligeable; les axes sont invariablement liés l'un à l'autre, 

 chaque étui ne pouvant que tourner autour de son axe, les surfaces externes 

 roulant sans glisser l'une sur l'autre; soit maintenant un nouvel assem- 

 blage a, b identique au précédent et possédant les mêmes liaisons. On 

 pourra engager le cylindre a dans A, en munissant a d'une saillie glissant 

 dans une rainure tracée arbitrairement sur A : le mouvement relatif de a 

 et A dépendra d'un paramètre, il est guidé par la rainure et la saillie que 

 nous avons définies. Dans ces conditions, A etB restant immobiles, en en- 

 gageant a dans A, la translation de a se transmet intégralement à i, la 

 rotation de « se transmet (dans un ceitain rapport) à b, de sorte que le 

 mouvement relatif de /;> et B se trouve parfaitement défini comme consé- 



