la/ja ACADÉMIE DES SCIENCES. 



merveilleuse par sa simplicité et son élégance. IjCS applicatiotts à dés ques- 

 tions de Mécanique analytique sont nombreuses, car pour les équatiofis 

 canoniques on peut prendre M = i ; il suffira de citer l'exemple d'un corps 

 pesant mobile autour d'un point fixe. 



2. On a supposé implicitement, dans ce qui précède, que M et les X 

 restaient finis dans le volume fini V. Poincaré s'arrête un moment sur le cas 

 où il en serait autrement, mais il resterait ici bien des points à élucider, et 

 notamment celui-ci. Disons qu'il y a choc, quand les X deviennent inlinis. 

 Des circonstances très différentes peuvent alors se produire; un cas intéres- 

 sant est celui où l'on peut faire v\\\ prolongement analytique de la trajectoire 

 après lé choc, où l'on a, par exemple, quelque chose d'analogue à ce qui se 

 se passe d'après Sundmann dans le problème des trois corps quand deux 

 corps viennent à se choquer (le problème des trois corps ne rentre pas 

 d'ailleurs dans le cas actuel, lé volume V n'étant pas fini). Il faut évidem- 

 ment supposer que l'intégrale (2) étendue au volume V reste finie, et l'on 

 peut alors montrer que le théorème sur la stabilité subsiste à condition 

 d'être généralisé, c'est-â-dire en l'étendant ailx trajectoires des points du 

 volume Vf, et à leurs prolongements analytiques, s'il y a lieu de les envi- 

 sager. 



Un exemple très simple est donné par le cas d'un point attiré dans l'es- 

 pace par un nombre quelconque de points fixes en raison inverse de la 

 puissance m''"'"* de la distance. Il y a stabilité si m est inférieur ou égal à 

 six, mais, à partir de m = 7, on ne peut plus rien affirmer. 



3. La question devient singulièrement difficile quand Y est infini, et 

 ici Poincaré développe quelques vues hardies qui demanderaient à être 

 approfondies. Supposons que, pour le système (i), on puisse prendre M=i. 

 En même temps que le système (1), envisageons le système 



d r- X 



(3) -^ =Y (« = 1,2, ...,«)< 



P étant une fonction positive de x,, x-,,^ i..j Xn.' Si P est convenablement 

 choisi, l'invariant intégral du systèrtié (3); ^ 



I • • • j I' dji'i dx^ . . . dx,,, 



^^':l■^■/■.■'■^ 



pourra avoir un sens, quand l'intégrale est étendue au volume infini V; 



