SÉANCE DU 4 MAI I9l4- 1243 



c'est ce que nous allons supposer. Les équations (i) et (3) donnent 



al =r — -, d ou 



"^0 



Les trajectoires correspondant à (i) et (3) sont les mêmes, mais diver- 

 sement parcourues. 11 peut arriver que, pour une valeur finie /' = T, le 

 point s'éloigne à l'infini, et qu'en même temps l'intégrale 



/ 



\n' 



soit infinie. C'est, en quelque sorte, un prolongement analytique des tra- 

 jectoires de ( i) au delà du temps / = ^, que propose Poincaré. On peut y 

 parvenir si, pour le système (3), il est possible de définir un prolongement 

 analytique de la trajectoire au delà du temps t'=T. En supposant que 

 toutes les conditions indiquées se trouvent remplies, ce qui pourra être 

 singulièrement difficile à décider, il y aura un théorème de stabilité en 

 l'étendant non seulement aux trajectoires mais aussi à leurs prolongements 

 analytiques. 



Un exemple extrêmement simple du type précédent est fourni par le 

 mouvement d'un pnint repoussé par un point fixe en raison inverse du 

 carré de la dislance. On pourra prendre ici 



P=r 



(.r=-i- j=+ 1)2 



La nature du prolongement analytique s'aperçoit immédiatement. Le 

 point va à l'infini sur sa trajectoire hyperbolique, et le prolongement 

 consiste à passer d'une branche d'hyperbole à l'autre branche de même 

 asymptote. 



4. J'ai tenu à entrer dans quelques détails sur la proposition célèbre de 

 Poincaré concernant la stabilité à la Poisson. Il faut reconnaître que c'est 

 seulement dans le cas du paragraphe 1 que l'on a une conclusion précise 

 permettant d'affirmer réellement la stabilité. Aussi, ce n'est pas sans éton- 

 neuïent que l'on voit le parti que d'éminents physiciens ont cherché à tirer 

 de ce théorème auquel ils donnent la forme générale suivante : un système 

 dynamique, si com.plexe soil-il, repasse en général une infinité de fois par une 

 configuration aussi voisine que ton veut de son étal initial. D'après ce qui pré- 

 cède, rien n'autorise à énoncer une telle proposition, et les probabilités sont 



