SÉANCE DU 4 MAI I9l4- 12^7 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Su/' certaines congrueiices spéciales 

 de cercles el de sphères. Note de M. C. Guichard. 



Je suppose que les coordonnées a;, , . . . , x^ d'une sphère sont des fonctions 

 de M et de t'; on sait qu'il existe une équation 



au'' (juav Oi'^ au au 



qui admet comme solution a;,, x^, ..., x^. Je me placerai dans les cas où 

 cette équation aux dérivées partielles a ses caractéristiques confondues. On 

 sait que dans ce cas, on peut, par un changement de variables, ramener 

 l'équation à la forme 



à'9 . àB ^ dB ^. 



au- du di' 



La droite de l'espace à cinq dimensions qui a pour paramètres direc- 

 teurs a?,, X.,, ...,x^ décrit (voir ma Note du iG mars) une congruence 

 asymptotique; je dirai alors que la congruence décrite par la sphère (S) 

 qui a pour coordonnées a;,, x.,, ..., x^, est une congruence de sphères 

 asymptoliques. Les coordonnées x, y^ z ùù centre de la sphère S sont 



-) 



Ces coordonnées satisfont à une équation de la forme 



, , d-x ,,àx dx 



au- au dv 



donc, quand u varie seul, le point M décrit une ligne asymptotique de la 

 surface des centres. 



Inversement, si M décrit un réseau asymptotique, les coordonnées a;, 

 y, z de M sont solutions d'une équation de la forme (2). 



Soit 6 une solution de l'équation (2), considérons la sphère S qui a pour 

 centre M et dont le rayon R est donné par la formule 



2B = x--h y-+ z- — K-. 



La congruence de sphère (S) sera asymptotique. L'équation de la 

 sphère S peut s'écrire 



X=-i- Y- + Z- — 2X.X — 2^'/ — aZ^ + 35 = o. 



