1248 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Quand u varie seul, la sphère (S) a pour caractéristique un cercle (C) 



situé dans le plan 



-, dx ^. ây „ àz âB 

 \-5--H-\-/-+Z- ^ = 0. 



ou du Ou ou 



Celle congruence de cercles (C) correspond dans l'espace à cinq dimen- 

 sions à un réseau asymplolique; nous dirons que celte congruence de cercles 

 est asymptotique. L'axe du cercle C est la tangente asymplolique MT; 

 quand u varie seul, le cercle C est rencontré par le cercle infiniment voisin 

 en deux points I et I' situés sur la caractéristique du plan du cercle. Les 

 coordonnées de ce plan sont 



àr i)^^ dz dB_ 



Ou du du du 



Comme a;, ^, S, ô sont solutions de l'équation (2), les coordonnées du 

 plan sont solutions d'une équation de la forme (i); donc: 



Le plan du cercle enveloppe une surface; le point de contact H est sur la 

 droite II'; quand u l'arie seul, H décrit une ligne asymplolique ; la tangente 

 asymptotique est la droite H . 



Si l'on désigne par x,, ...,cc-^ les coordonnées de S, on voit que les 

 points I et l' se trouvent sur les trois sphères qui ont pour coordonnées les 



quantités ce, -r- et j- ^ ; en tenant compte de l'équation (i), on voil que les 



points I et F se trouvent sur les trois sphères qui ont pour coordonnées 



les quantités x, -p» -r7; I et l' sont donc les points où la sphère S touche son 



enveloppe. 



La loi d'orthogonalité (voir ma Note du 16 mars) y fait correspondre 

 les éléments suivants : 1° la sphère qui a pour centre H et qui passe par 

 les pôles du cercle C; 2° le cercle qui a pour pôles I et F. Ces congruences 

 de cercles et de sphères sont aussi asymplotiques. 



A un réseau et à une congruence asymptotique, harmoniques dans l'es- 

 pace à cinq dimensions, correspondent, dans l'espace ordinaire, une con- 

 gruence de cercle et une congruence de sphère asymptotiques qui sont 

 harmoniques. On voit facilement qu'on obtient les sphères harmoniques 

 aux cercles (C) de la façon suivante : 



On prend un réseau asymptotique (K) conjugué à la congruence MT 

 formée par l'axe du cercle. La sphère qui a pour centre K et qui passe par 

 le cercle C décrit une congruence harmonique à ta congruence C. 



