SÉANCE DU 4 MAI I9l4- Ï253 



fonction Çî(x) tend uniformément vers une limite. Il en est de même de 

 toutes ses dérivées par rapport à - • 



Gomment peut-on maintenant prolonger la fonction ù(x) jusqu'à la 

 droite a = /"? 



Supposons pour plus de simplicité /^o. 



La fonction ^(x) définie par la série (i) admet toujours un développement 

 de la forme 



(2) îi(^)-2 *^ 



s = o 



a: ( j: -i- (>)).. .(se -^ sut) 



0) étant un nombre positif et plus grand que i . Les coefficients b, dépendent 

 linéairement des nombres «„, a,, ..., a,. L'abscisse de convergence X(a>) 

 dépend de co. C'est une fonction continue de w qui satisfait à l'inégalité 



l{(ù')il(M), si &)'>tO. 



Quand co tend vers l'infini^ ^C"^) ^^'^'^ "^''■^ "'^^ limite qui est précisément 

 égale à l. On peut donc rendre le nombre non négatif X(a)) — /aussi petit 

 qu'on veut en choisissant convenablement ai. 



Il peut arriver qu'il existe un nombre /, plus petit que / et tel que la fonc- 

 tion Q(j) est holomorphe dans le demi-plan a >•/, . En ce cas, d'après ce 

 qu'on vient de voir, la fonction 0(a;) n'est pas bornée dans la bande /^a >/,. 

 On peut ajouter qu'il en est de même de la fonction Q. {x)x~"-, n étant un 

 nombre positif aussi grand qu'on veut. Autrement dit : 0(a;) rîest pas 

 d'ordre fini par rapport à V ordinal dans cette bande. 



En voici un exemple très simple. 



Soit Y un nombre positif. L'intégrale 





e-^'éV^dt 



représente une transcendante entière bien connue et étudiée pour la pre- 

 mière fois par Laplace. Elle admet un développement de la forme (2), 

 w étant un nombre positif quelconque. L'abscisse de convergence est 





C. R., 1914, I" Semestre. (T. 158, N» 18.) 



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