SÉANCE DU 4 MAI I9l4- 1255 



on tire immédiatement 



4>(a?+ II) — <i^{x) =— / e'-.'-^'-"'(j; — «)''"'[?(" -+- /') — ?(")]«'" 



= - ps^T) L>(^' + /') - ?(0]/ e'<-»)(^ - .0^-' du 



\ étant une valeur comprise entre a; et + oo. 



Mais ç(m) étant une fonction quasi périodique uniformément continue, 

 la quantité (p(^ + A) — cp(^) devient infiniment petite uniformément, 



chaque fois que — >— > .... — deviennent infiniment voisins de nombres 



entiers; il en résulte qu'il en est de même de '\i{x + A) — 4'(*')' '^I^^ P^'' 

 suite '^{x) est une fonction quasi périodique. 



1° Considérons maintenant un couple de racines imaginaires conjuguées 

 p -h iw, p — i(3i de l'équation caractéristique, avec le degré de multipli- 

 cité a. En supposant par exemple p>o et en associant ces racines dans 

 l'expression (3) dey, et posant 



nous aurons à considérer l'expression 



9(x)= — -pr^ — j eP'-^-"'(.r — u)'^^^[lcosoi{x — ii)-t-ij.sin<i)(jc—u)]([>{u)du. 



Je dis que 0(a;) est encore une fonction quasi périodique. 

 Nous aurons, en effet, 



X [>. coscjj(.r — a) -\- [j. sinGj(ar — w)] [9( w 4- A) — cp{w)] du 



2 OC 



•[X cos(xi{x — ^) -HjJisinco(x — ^)] 



X [<p(| + /0 — ?(0] f" eP'-^-"'(:c — «)='-' rf" 



^ étant un nombre compris entre a; et + ce. 



Ceci montre encore que 0(a7 + A) — 0(x) devient infiniment petit chaque 



