1256 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



fois que (p(^ -\- h) — (p(^) devient infiniment petit, par suite, que ^{x) ■êst 

 une fonction quasi périodique. La démonstration suppose essentiellement 

 p^o. 



L'intégrale particulière (3), en choisissant les constantes c,, Cj, ..., c;; 

 égales à ± 00 suivant les signes de /• ou de p, se mettra donc sous la forme 

 d'une somme de fonctions quasi périodiques, et sera elle-même une fonc- 

 tion quasi périodique attachée au corps des périodes a,,a^, ..., a^,. 



On voit en résumé que si r équation caractéristique ne possède aucune 

 racine, soil nulle soit purement imaginaire, l'équation différentielle (i) admet 

 une intégrale quasi périodique, dont nous avons formé l'expression, et une 

 seule, ainsi qu'il est facile en outre de l'établir. 



Dans une prochaine Note nous examinerons le cas beaucoup plus com- 

 pliqué où l'équation caractéristique admet des racines nulles ou purement 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une lirhile inférieure des changements 

 de signe d'une fonction dans un intervalle. Noie de M. Michel Fekete, 

 " présentée par M. Emile Picard. 



1. Soit f{>r) une fonction réelle de la variable réelle x, continue dans 

 VintervaUe a^ic^p. Formons une suite 



(1) '»y(^-) = /(^), '/(^), '7(^), •••, ""/(^•), 



contenant un nombre de termes quelconque, et telle que, potstr a 5cc;$ § 



^(v)/(^) = (v-.)/(^) (V= 1,2, ...,«). 



Désignons par ('(^) le nombre des variations (de signe) dans la suite (i), 

 ce étant un point de l'intervalle (a., j3). Alors 



(2) V + .>,'((3)-r(«), 



OÙ V désigne le nombre des changements de signe de la Jonction f(x) dans 

 r intervalle a ^ a; ^ ^ . 



Si pour X = y. le premier terme de ïà suite (i) est diffèrent de zéro, ou si 

 pour iT = a tous les termes de la suite (i) s'annulent, on a V inégalité plus 



