SÉANCE DU 4 MAI 1914. I aSy 



précise (') 



(3) V>.'(P)-r{«). 



Dans la démonstration, il suffit de se restreindre au cas où f{3c) n'a 

 qu'un nombre fini des changements de signe. Dans ce cas on peut démon- 

 trer ce théorème par induction de /? à « + 1, à l'aide des lemmes 

 suivants : 



A. Suit ^(ic) une fonction réelle de la variable .v, déjinie dans l'inter- 

 valle (/.'S.x^ ^, ne s''y annulant pas identiquement et ayant une dérivée conti- 

 nue î>'(;r) dans le même intervalle. Si une des quatre paires de conditions 



1» sg9(a)9'(«) = +i, co{^) — o; 



2" sg<p(a)(p'(3()=:4-i, s-gcp((3)cp'([3)=— 1; 



3» cp(a) = o, sg9(|3)tp'((3)=— 1; 



■4* 9'(«) = o, cp((3) = o, 



est remplie, ï''('^) change au moins une fois de signe dans l'inter- 

 valle (a, p). 



B. En reprenant les li)^pothèses relatives à 9(^)» adoptées au début du 

 lemme précédent, désignons par V, resp. V, le nombre (fini ) des chan- 

 gements de signe de !p(a), resp. cp'('^-)i dans l'intervalle (a, P). Alors on a 



V'>V-i + £-t-r), 



oÙ£ = i, si sgcp(a)<p'(a)= + i ou!i)(a):=o, et£ = o dans tout autre cas; 

 de plus Y) = I, si sgcp(j3) f'{^) = — i ou a(^) = o, et yj = o dans tout autre 

 cas. 



2. La suite (i) contient f(x) et ses intégrales indéfinies successives. On 

 obtient un cas particulier intéressant en prenant toujours comme limite 

 inférieure de l'intégration la limite inférieure a de l'intervalle consi- 

 déré (X, ji). Dans ce cas, nous avons donc 



'''y(-0=/(.^-): 'A^r) = f/{f)n, "f{x)=f '/{i)d't, 



•J a. "3. 



et V inégalité {3) fournit le résultat plus simple 



V>*.((3). 



(') Si la fonction réelle /{-x:) esl régulièie et n'a que des racines simples dans 

 l'intervalle (a, ,3), l'inégalité (3) se déduit immédiatement d'un théorème remarquable 

 de M. Murwllz : Ueber deii Saiz von Biidan-Fourier {Math, inii., t. LXXI, p. àSg). 



