1258 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



3. Le théorème du n" 1, modifié légèrement, m'a permis d'établir le 

 théorème suivant (') : 



« Soit f{x) = 7 a,,.r"\ine série entière à coefficients réels, convergente 







pour I a] < p, et ^(o<;|^ I < p) une racine réelle de /{x) d'ordre de multi- 

 plicité k. Alors les polynômes Jn{^) de M. Jensen (-) relatifs à la 



ser 



Irie y a„œ''. 



/„(.r) = «0+ a,.r + a-^œ-i i j + a,,x^[ ' "~ « ) i ' ~ « 



qui convergent uniformément vers /(x) dans tout domaine intérieur au 

 cercle |a7| = p, ont exactement k racines réelles et distinctes, convergentes vers c, 

 pour n = ce. C'est-à-dire, le nombre positif S étant suffisamment petit, on 

 a X: racines simples du polynôme y„(.r) dans l'intervalle (^ — S, ^-l-S), 

 lorsque n est suffisamment grand. » 



THÉORIE DES FONCTIONS. — Sur un problème de M. Bairè. 

 Note de M. N. Lusin, présentée par M. Emile Picard. 



1. On sait que M. Baire a donné une propriété générale des fonctions 

 qui rentrent dans sa classification. Toute fonction de classe déterminée est 

 ponctuellement discontinue sur tout ensemble parfait quand on néglige les 

 ensembles de première catégorie par rapport à cet ensemble parfait. La 

 question se pose alors de savoir si cette condition, nécessaire pour qu'' une 

 fonction rentre dans la classification de M. Baire, est aussi suffisante. Cette 

 question a été posée par M. Baire lui-même. Le but de la présenle Note est 

 de montrer que si la puissance du continu est aleph-un, il existe des fonctions 

 jouissant de cette propriété nécessaire de M. Baire et ne rentrant pas dans 

 sa classification. 



2. Théorème L — Si la puissance du continu est aleph-un^ il existe dans 



(') Cf. avec le rosuliat de ma Note dans ces Comptes rendus, t. 157, p. 574- 

 (■-) Acla rnalh., l. WXVI, ]i. i84. 



