SÉANCE DU 4 MAI I9l4- IsSq 



l'intenalle (o,i) un ensemble E ayant la puissance du continu tel que tout 

 ensemble par fait non dense dans (^o,\) contient au plus un ensemble dénom- 

 brable des points de E. 



Supposons que la puissance du continu soit aleph-un. Nous pouvons 

 écrire alors tous les points x de l'intervalle (o^arf i) sous la forme d'un 

 ensemble bien ordonné 



( 1 ) X(, ^1 .r2 . . . x,i . . . X(i, . . . Xa. • • • I ' - 1 



OÙ a est un nombre de classe II. Considérons, d'autre part, l'ensemble de 

 tous ensembles parfaits tt non denses dans (o^x'Si). On sait que cet 

 ensemble a la puissance du continu. Nous pouvons donc écrire tous ces 

 ensembles parfaits u sous la forme d'un ensemble bien ordonné 



(II) TToTtiTla. . .TTn. . .TTo,. . .TIa- • ■ |i2. 



Prenons le premier ensemble parfait Tij. Les points de tz^ forment dans 

 l'ensemble (I) un ensemble bien ordonné. Désignons par H„ le premier élé- 

 ment de cet ensemble et supprimons dans (I) tous les points de 7t„. Parmi 

 les ensembles iz de (II), il existe dans (II) un premier (soit tz^^, a, ^ o) tel 

 qu'il contient des points non supprimés dans (I). Les points de tt^^^ qui ne 

 sont pas supprimés dans (I) forment dans (I) un ensemble bien ordonné. 

 Désignons par ^, le premier élément de cet ensemble et supprimons dans(I) 

 tous les points de tz^^. 



Parmi les ensembles -tt de (II), il existe dans (II) un premier (soitu^,^, 

 a„ ^ a, ) tel qu'il contient des points non supprimés dans (I). Les points 

 de Uji^ qui ne sont pas supprimés dans (I) forment dans (I) un ensemble 

 bien ordonné. Désignons par H^ le premier élément de cet ensemble et sup- 

 primons dans (I) tous les points de tz^_. On peut continuer l'application de 

 la méthode indéfiniment. On forme de cette manière un ensemble dénom- 

 brable de points ?„, ^i , ^o, . . . , ^„, . . . , correspondant à celui des ensembles 

 parfaits tTo, tt,, tz^, . . . , u„, ... (o <] a, <^ a^ <[ . . . <^ a„<^ . . .). Or l'en- 

 semble qui est formé par réunion des ensembles parfaits non denses tt^, tt^ , 

 TTjt,, ..., ir„ , ... est un ensemble de première catégorie dans (o^cc^i). 

 Donc, les points des u„, Uj(^, Uj;^, ..., •::„, ... étant supprimés dans (I), il 

 reste encore des points dans (I), en infinité non dénombrable. Il en résulte 

 que, parmi les ensembles u de (II), il existe dans (II) un premier (soit tïj,^, 

 atj>a„) tel qu'il contient des points non supprimés dans (I). 



Ces points de iTa^ forment dans (I) un ensemble bien ordonné. Désignons 



