I26o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



par i„ le premier élément de cet ensemble et supprimons dans (I) tous les 

 points de Tto,_^. La réunion des ensembles -iio, tz^^, u,^, . . . , it^^, . . . , tt^^ étant 

 de première catégorie dans (o < a? < i), il existe, parmi les ensembles - de (11), 

 un premier (soit -k^^^^^, a^^, > a^) qui contient des points non supprimés 

 dans (I). 



Nous arrivons ainsi à la détermination de ^a,+,- Kt ainsi de suite. En pro- 

 cédant de cette manière, nous finirons par déterminer sans ambiguïté un 

 ensemble E de points de (o5a;$i) 



(E) £o^,^...-?«.-.L,...Ha--.|i2 



ayant la puissance du continu. Il est bien évident que tout l'ensemble parfait 

 non dense dans (o£j;<i) (par exemple 71^) contient au plus un ensemble 

 dénombrable de points de E. (c. q. f. d.) 



On peut toujours supposer que l'ensemble E ne contient que des points 

 irrationnels ; sinon supprimons dans E tous les points rationnels, ce qui ne 

 change aucune des propriétés de E ni sa puissance. 



TiiÉOTiÈME II. — Si la puissance du continu est aleph-un, il existe dans 

 l'intervalle (o, i) un ensemble G ayant la puissance du continu qui est de pre- 

 mière catégorie dans tout ensemble parfait (dense ou non) situé dans (o, 1). 



Prenons, dans l'intervalle (o^ic^i), l'ensemble Iv de tous points repré- 

 sentables par des fractions continues illimitées dans lesquelles le quotient 

 incomplet de rang n croît indéfiniment avec n. M. Baire a établi, entre 

 l'ensemble S de toutes les suites d'entiers positifs (i, ,Jo,î3,...,î„) •••) et l'en- 

 semble K, une correspondance bien déterminée biunivoque et réciproque 

 ayant les propriétés singulières (^Acta mathematica, t. XXX, p. 42). Consi- 

 dérons, d'autre part, l'ensemble de tous points irrationnels du domaine 

 (o5j5i). Un point irrationnel de ce domaine (of r£i) est représentable 

 d'une manière bien déterminée par une fraction continue illimitée (i,, i.,, 

 ig, ...,«'„, ...) et réciproquement, de telle sorte qu'il y a une correspondance 

 biunivoque et réciproque entre l'ensemble des nombres irrationnels du 

 domaine (o'SySi) et l'ensemble S des suites infinies d'entiers positifs 

 (i, ,i2, i's, ..., i„, ...). Nous établissons de la sorte, entre l'ensemble de tous 

 points irrationnels du domaine (o!:j'<i) et l'ensemble K, une correspon- 

 dance bien déterminée biunivoque et réciproque ayant les propriétés sin- 

 gulières. Désignons par Z celte correspondance bien déterminée. Cela 

 posé, prenons, dans le domaine (o'S^ySi), l'ensemble E ne contenant que 

 des points irrationnels et ayant les propriétés signalées par le théorème I. 



