SÉANCE DU 4 MAI I9l4- I261 



La correspondance Z fait correspondre à l'ensemble E du domaine (oSySi) 

 un ensemble bien déterminé G contenu dans l'ensemble K et ayant la 

 puissance du continu. 



Cest cet ensemble G qui est de première catégorie dans tout ensemble par- 

 fait (^dense ou non) situé dans V intervalle (of:a7<i). Nous omettons la dé- 

 monstration de ce fait tjui est un peu longue pour mettre ici. Remarquons 

 seulement qu'on peut toujours supposer l'ensemble G non mesurable (B). 

 En effet, l'ensemble de tous ensembles mesurables (B) a la puissance du 

 continu. D'autre part la puissance de G étant celle du continu, l'ensemble 

 de tous sous-ensembles de G a une puissance supérieure à celle du continu. 

 Donc, il existe un sous-ensemble H de (ï non mesurable (B) ayant la 

 puissance du continu. Cet ensemble H satisfait, évidemment, à l'énoncé du 

 théorème proposé. 



Théorème III. — Si la puissance du continu estaleph-un, il existe une fonc- 

 tion possédant la propriété nécessaire de M. Baire et non représentable analy- 

 tiquement. 



Prenons, en effet, dans (of ic5i) l'ensemble (î du théorème II. La 

 fonction f{po) égale à i dans G et égale à zéro en dehors de G, est une 

 fonction non représentable analytiquement; car l'ensemble G est non me- 

 surable (B). D'autre part, quel que soit un ensemble parfait P (dense ou 

 non) dans (o <x5 i), la fonctiony(a;) est égale à zéro partout dans P, sauf 

 un ensemble de première catégorie dans P. Par conséquent /(x) est ponc- 

 tuellement discontinue (même uniformément continue) sur tout ensemble 

 parfait quand on néglige les ensembles de première catégorie par rapport 

 à cet ensemble parfait. (c. q. f. d.) 



GÉOMÉTRIE. — Sur les surfaces algébriques doubles ayant un nombre fini de 

 points de diramation. Note de M. Lucien Godeaux, présentée par 

 M. Emile Picard. 



Soit $ une surface algébrique de genre arithmétique ir^^ — i . Supposons 

 que cette surface puisse être considérée comme une surface double ayant 

 un nombre fini de points de diramation ('). En d'autres termes, supposons 

 qu'il existe, sur une certaine surface algébrique F, une involution I.,, 



(') Je traduis par diramation le mot italien diramazione. 



C. R., 1914, I" Sêmeftre. (T. 15?, N- 18.) l63 



