1202 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



d'ordre 2, ayant un nombre fini de points de coïncidence, dont la sur- 

 face <1> soit une image. Proposons-nous de rechercher quelles sont les 

 conditions pour que, étant donnée la surface $, la surface F existe. 



On peut toujours trouver sur $ un système linéaire |r|, régulier, 

 dépourvu de points-base, simple, dont le genre 71 et le degré 11 satisfont à 

 l'inégalité 



Il 7Î > 71,, 4- I . 



La dimension de |r| est, d'après le théorème de Riemann-Roch, 

 p = /^ — 7: -H 7r„+ I . En rapportant projectivement les courbes F aux 

 hyperplans d'un Sp, on transforme $ en une surface (que nous désignerons 

 toujours par $) simple, d'ordre n. On supposera |r| choisi dételle manière 

 qu'aux points de diramation de la surface dont on part correspondent des 

 points de la nouvelle surface $. 



Aux courbes F correspondent, sur F, des courbes G de degré 2 n et de 

 genre in — i, appartenant à un système linéaire |C| de dimension /• supé- 

 rieure à p. 



Ainsi que je l'ai montré précédemment ('), en chaque point de dira- 

 mation, la surface $ possède un point double conique, et le nombre de ces 

 points est 



Pa désignant le genre arithmétique de F. 



Dans le système linéaire |C|, Ij engendre une homographie involutive. 

 Il est facile de voir qu'il y a deux systèmes de courbes de |C| invariantes 

 pour L; l'un, de dimension p, contient les transformées des courbes F; 

 l'autre, de dimension r — p — i, contient les transformées des courbes F„ 

 d'un certain système linéaire |Fo| de •!>. 



Si nous désignons par F,, F^, ..., F^les courbes rationnelles de degré — 2 

 équivalentes, au point de vue des transformations birationnelles, aux points 

 de diramation, on a 



2r„-+-r,-+-r,-t-... + r5=z2r. 



Parmi les hypersurfaces découpant sur $ les courbes du système |2F|, 



(') Sur les involiitions n'ayant qu'un nombre fini de points unis, appartenant à 

 une surface algébrique {Comptes rendus, 23 mars 1914)- Je dois rectifier un point 

 de celle Note. Au n°2, il peut arriver qu'il y ail 00'"-' courbes C ayanl un point />-uple 

 en P. La surface O a alors un point p-uple conique en P'. Les courbes F passant par 

 ce point ont le genre TT —/> 4- I et il peut donc exister des points unis parfaits pour 

 des invoiulions d'ordre /j > 2, contrairement à ce que j'avais dit. 



