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par un contour fermé y que quand ces cloisons ont toutes mêmes plans 

 tangents le long de ce contour, c'est-à-dire mêmes a-, y, z, p, q en chaque 

 point de y. Depuis, j'ai rigoureusement démontré cette formule dans un 

 Mémoire Sur les transformations et extensions de la formule de Stokes, publié 

 dans les Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse (3'' série, t. IV). Pour 

 l'instant, je puis réduire cette formule générale à 



(0 





dx cl Y -^ fvdx -h ^}dy + S dp + T dq. 



où 1', (^), S, T conlionnent explicitement Ji-,y,p, y, mais non z. 



J'ai déjà remarqué que des notions géométriques, telles que la couiburc 

 d'une cloison F d'étendue finie, étaient définies par des intégrales de surface 

 (jui doivent précisément rester invariantes lorsque la cloison est déformée 

 avec conservation du contour et des plans tangents le long de celui-ci. 



Il y a donc lieu d'examiner si les formules ayant pour but d'évaluer celte 

 courbure, ou des êtres géométriques analogues, ne rentrent pas tout natu- 

 rellement dans la formule (i). 



Ainsi, soit une surface z ^ f(x,y) sur laquelle on trace un contour 

 fermé y défini par la projection ¥(^x.y) = o. La courbure géodésique ds : p„, 

 en un point de y, est de la forme 



(2) 



P (/x + Q dy + S dp = T dq. 



et l'application de (i) redonne la célèbre formule d'Ossian Bonnet (G. Dxr,- 

 noux, Surfaces, t. III, p. 126). 



Pour la torsion géodésique, l'angle élémentaire dz^ est aussi de la 

 forme (2) avec P = o, Q = o. 



^^TlFdi'-^r-)V.r-pqFyl T=-^[(i+/,»)F^-/.yr',] 



Ad 



Aô^ 



SI I on pose 



o'— l + p^-i- q- 



A^=F= + F^ + (</F.,-;,F,)^ 



Alors, si l'on construit (i), le pseudo-déterminant qui figure dans l'inté- 

 grale double est susceptible de simplifications considérables qui, finalement, 



