SÉANCE DU II MAI I9l4- 



I,52D 



laissent la formule 



(3) 



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qui semble originale au moins quant à la forme et quant à la précédente 



méthode d'obtention. 



F F 

 On a $- = F^ -I- F,- et ^, '( désignent respectivement -^' -^-^ c'est-à-dire 



les cosinus directeurs de la normale au contour du plan O.rv sur lequel se 

 projette y. 



Le pseudo-déterminant de (3), égalé à zéro, donne l'équation aux 

 dérivées partielles de surfaces portant des contours fermés qui, lorsqu'ils se 

 projettent sur la famille de courbes fermées F(x, v) = const., ont une 

 torsion géodésique /oto/e nulle. De tels contours contiennent naturellement, 

 comme cas particulier, les lignes de courbure (d-:^ nul en chaque point) 

 fermées quand il en existe sur la surface. M. Darboux a construit de même 

 des contours fermés dont la courbure géodésique totale est nulle sans qu'elle 

 le soit en chaque point {loc. cit., p. i'58). 



A coup sûr, la formule (3) ne peut être comparée, comme importance, à 

 celle de Bonnet; ce n'est pas une formule purement géométrique et la 

 notion de torsion géodésique a naturellement un rôle infiniment plus réduit 

 que celle de courbure géodésique. Mais, avec la méthode précédente, un 

 parallélisme remarquable s'observe dans les calculs qui conduisent aux deux 

 formules, ce que je montrerai dans un travail développé. 



Enfin, parmi les intégrales de surface étendues à une cloison F et restant 

 invariantes quand on déforme F avec conservation du contour y et des plans 

 tangents le long de ce contour, il n'est pas sans intérêt de remarquer la très 

 grande symétrie (obtenue ici par l'usage d'un pseudo-déterminant) qu'on 

 peut donner à celle qui s'exprime justement par la torsion géodésique totale 

 du contour en question. 



ANAI.YSE MATHÉMATIQUE. — Sur ks séries de facultés el les méthodes de som- 

 mation de Cesaro et de M. Borel. Note de M. N.-E. Norlund. 



On sait qu'il y a une certaine analogie entre les séries de Dirichlet el les 

 séries de facultés. En effet M. E. Landau a démontré que : 



