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I" La série de Dirichlet 

 et la série de facultés avec les mêmes coefficients 



(2) i2(^0=2 



x{x + l). . .(j^ -h s) 



sont convergentes pour les mêmes valeurs de x (en exceptant les points 

 a;=o, -1,-2, ...). 



2° Si la fonction ^(.r) est holomorphe dans le demi-plan R(a;)> jj., il en 



est de même pour la fonction rn-( • 



Soit X l'abscisse de convergence. Posons .r = c + h. M. H, Bohr a dé- 

 montré l'existence d'une suite de nombres réels X,, "k^, X3, ... 

 (X>X, ^Xo^ A;, ^ ...) tels que les séries (1) et (2.) sont sommables par des 

 moyennes aritbméti(jues d'ordre «dans le demi-plan (7 ^ X„(/i = i, 2,3, ...), 

 mais non pour a-<^X„. Quand n tend vers l'infini, X„ tend vers une limite A. 

 En se bornant aux séries de Dirichlet, M. H. Bohr a démontré que la di-olte 

 (j = Ajoue un rôle très important pour la fonction ^]"(.r) définie par la 

 série (i). 11 y a lieu de se demander s'il en est de même pour la fonction 

 ù{x) définie par la série (2). Il paraît que la réponse doit être négative. En 

 tout cas j'ai démonlré que le nombre A est généralement plus grand que le 

 nombre l dont j'ai parlé dans ma dernière Note ('). La fonction ù (r) est holo- 

 morphe et bornée dans le demi-plan a~^ l -\- 1(1"^ 6) en exceptant les 

 points X = o, — I, — 2, ... s'il y a lieu. Ce demi-plan renferme générale- 

 ment à son intérieur la droite o- = A. Quand x tend vers l'infini, de sorte 

 qu'on a toujours a >■ / + s, la fonction Q,{x) et toutes ses dérivées par rap- 

 port à - tendent vers des limites finies. 



La fonction £2(a?) donne donc naissance à une série de la forme 



(3) i2(^)-^-+-^+l^^ + ^-4-.... 



.V .r- x^ .1' 



Cette série est généralement divergente, mais elle est sommable par la 

 méthode de sommation exponentielle de M . E. Borel. La fonction associée de 



(') Séance du 4 mai •9'4- 



