SÉANCE DU II MAI igM- l327 



M. E. Borel 



(4) F(a.) = A„+^^+^,r^+^.H + ... 



est holomorphe dans une bande limitée par deux demi-droites et compre- 

 nant à son intérieur Taxe des nombres positifs. La valeur que M. E. Borel 

 attribue à la série divergente (3) est égale à la valeur de la série (2), c'est- 

 à-dire 



< 



Supposons /> o. Le domaine de convergence de cette intégrale^ c'est le 

 demi-plan rj^ l. La méthode de M. M. Borel permet donc de réaliser le 

 prolongement analytique de la fonction il(j:) dans le même domaine que la 

 transformation dont j'ai parlé dans ma dernière Note et dans un domaine 

 bien plus étendu que ne le permet la méthode de sommation de Cesarô. 



Considérons deux séries i2, (a,-) et H^i^x) de la forme (2) convergentes 

 pour T >• À et somniables par des moyennes arithmétiques d'ordre un 

 pour a- ;> A, (X, < X). Le produit i), (a;) . Q.., (x) se représente par une série 

 de la même forme coifvergente pour o-^ A,, t^ o et absolument conver- 

 gente pour fT> A, a > o. 



On en conclut en particulier le théorème suivant : 



« Si la fonction Q.(^x) admet un développement de la forme (2) qui est 

 sommable par des moyennes arithmétiques d'ordre n dans le demi- 

 plan a'>X„^o, la fonction Q(a7).X~" se représente par une série de facultés 

 de la même forme, convergente dans le demi-plan 7>X„; et la fonc- 

 tion il (.!;)"""' se représente par une série absolument convergente dans ce 

 demi-plan. 



Plusieurs auteurs ont été conduits à étudier des séries de facultés de la 

 forme 



oc 



^^asx{x — i). . .{x —s). 



Relativement à ces séries, j'énonce seulement le résultat suivant : Le pro- 

 duit de deux séries de cette forme ne se représente pas en général par une 

 série de la même forme. 



