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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Nombre des changements de signe d'une 

 Jonction dans un intervalle et ses moments. iNote de M. Lkopoi.d FEjnit, 

 présentée par M. l*]inile Picard. 



1. Soity(a7) une fonction réelle de la variable réelle .r, continue dans 

 l'intervalle o^a;5 a. Posons 



M. Fekete a trouvé (Comptes rendus de la dernière séance), qu'en dé- 

 signant par i> le nombre des variations (de signe) dans la suite infinie 



(2) • fo{(l), fl(0), ..., /«(a): •••, 



la fonction/(/c) change au moins v fois le signe, lorsque x parcourt (dans 

 le même sens) l'intervalle o^x'^a. 

 C'est-à-dire, on a 



(3) RîV>r, 



en désignant par V le nombre des changements de signe de.y"(a;), par R le 

 nombre des racines de/(a-) dans l'intervalle o^x^a. 



2. De ce théorème de M. Fekete, je déduis un autre, où ce sont /es mo- 

 ments de la fonction /{x) pour Cintervalle (o, a), dont les changements de 

 signe fournissent une limite inférieure pour les changements de signe de la 

 fonction y^(j7) dans l'intervalle (o, a). Ce nouveau théorème, trouvé anté- 

 rieurement, présente peut-être aujourd'hui quelque intérêt, parce qu'il se 

 rattache aussi à un point de la Note extrêmement intéressante de 

 M. G.-H. Hardy ('). 



On a, d'après une formule très connue, 



/"(■')= („!,)! f {■r-ty"\f(l)d( (/, = i,9. 3 ^x). 



et, par suite, 



/"(")^ (^ _!.,)! f («-0"-'/(0^^= (^^_^,), f /{a-t)t"-^dl. 



(') G.-H. Hardy, Sur les zéros de la fonction Ç(5) de Riemann {Comptes rendus.^ 

 6 avril !9i4)' 



