SÉANCE DU TI MAI 191/4. l329 



Donc la suite (2) pourra se remplacer par la suite 



(4) /(«), ff{a-t)dt, ..., i f {0-1)1"-' dt, ..., 



et l'on peut dire, d'après (3), que le nombre Vpoury'(a;) est au moins égal 

 au nombre des variations dans la suite (4). 



Considérons maintenant la fonction f{a — x). Elle change aussi V fois 

 désigne, lorsque r parcourt l'intervalle o^x^a. Le nombre V est donc, 

 d'après ce que nous avons dit tout à l'heure, au moins égal au nombre des 

 variations dans la suite (4), formée pour la fonction y^(a — x) : 



/(o), f /it)dt, ..., f /{t)t"-' 



dt. 



Nous avons donc obtenu le théorème suivant : 



Le nombre des changements de signe dans l'intervalle o'Sx'S.a d'une fonc- 

 tion réelle quelconque f{x) de la variable réelle x, continue dans le même 

 intervalle, est au moins égal au nombre des variations (c?e signe^ dans la 

 suite 



(5) /(o), f /{t)dt, f f{t)tdt, ..., f f{t)t"dt, ..., 



c'est-à-dire dans la suite de ses « moments » pour riiitervalle (o, a). 



3. La démonstration de ce théorème, et même celle d'un théorème 

 beaucoup plus général, s'obtient aussi directement par l'application d'un 

 théorème de Laguerre. Posons a = i et 



'6) m{v)^ f f{t)l''dt, 



V étant un nombre réel quelconque plus grand que — i. En introduisant 

 / = e~"-, on obtient 



(7) '"(v)=r e-V(e-")e-"«-, 



donc, d'après le théorème de Laguerre ('), le nombre des changements de 



(') Voir Œu^'res^ t. I, p. 29. Une démonstration sinnple et rigoureuse du ihéorème 

 de Laguerre a été donnée récemment par M. G. Polja {Math, es Tenu. Értesitô, 

 Budapest, 1918, t. XXXI, p. 438-447). 



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