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signe de la fonction /(ce) dans Vintervalle o < x' < i sera au moins égal au 

 nombre des variations dans la suite de ses « moments généralisés » 



(8) 



f /{t)r.di, I f{i)i'''di. 



où V,, V2, ... désignent des nombres réels quelconques, en nombre //m ou 

 infini, toujours croissants, el plus grands que — i . 



4. Soil p{.r) une fonction positive pour o<a; < a et continue pour oSxSa. Alors 

 le nombre des changements de signe pour le produit p{x)f{x) sera le même, dans 

 l'inlervalle oSx^a, que pour la fonction /(.c) elle-même. Donc le nombre des chan- 

 gements de signe de la fonction f{x) dans l'intervalle (o, a) sera au moins égal au 

 nombre des variations de la suite 



(9) /(o), ,u„. .a,, ..., ,a„, ..., 



où 



(10) y-'i— f i'<'^/('^'" c/in^o. i.o <x). 



Il est bien clair (|Uf qMel(|uefois la ciui-icbM-alion des niomenls d'inj |ii(i(lucl U-l c|iie 

 p{j.-)f(x), le facteur yo(^) étant convenablement choisi, pourra être |)lus avantageuse 

 que celle des moments de la fonction /(./') elle-même ('). 



5. Soit/(.r) continue |)0ur 2.r <-l- 00, et supposons que ces moments pour l'inter- 



vaile (o, +00), c'est-à-dire /»„— / /(t) l"clt, (n = o, \ , ..., ce), existent. Alors, 



comme il s'ensuit immédiatement du tiiéorême du n" 1, le nombre des changements 

 de signe de la fonction /(x), lorsque .r parcourt l'inlervalle (o, -t- 00), est au moins 

 égal au nombre des variations dans la suite /(o), niç,, m, . . . . , m„, .... 



Si, par exemple, le nombre des variations dans celte suite est infini, on en conclut 

 que le nombre des changements de signe de la fonction f{jc) dans l'inlervalle (o, -t- 00) 

 est infini. Le nombre de ces lacines dans le même intervalle est donc infini a fortiori. 

 J'ajoute encore qu'au lieu des moments de /{Jc) pour l'intervalle (o, -t-00), il est 

 souvent plus avantageux de considérer les moments du produit p{x)f{jc), où le 

 facteur p{x), positif et continu pour o l.r <-(- co, est convenablement choisi. 



(') Far exemple. M. Fekele a trouvé le résultat suivant. En posant 



f-n^ f {' — l)'' fiO^"'" (« -o, I, 2, ..., c»), 



le nombre des changements de signe de la fonction /(./), régulière pour of xli, est 

 égal au nombre des variations de la suite /(o), /jlo, f^i, •■•> lJ-,n •■■• lorsque le nombre 

 entier positif A est suffisamment grand. 



