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des coefficients P et Q, de manière qu'au moyen d'une série exponentielle 



1 = 1,2 



on représente une fonction donnée de x entre les valeurs a? = — /, 



et ir = /, + -2 1 /J^ (/., — /,), quand ^, est la i'^""' racine positive de 

 l'équation 



(E) lanoï/, X tanoTj. /S (/, _ i^^./'ùll- 



L V yi^i ' J V 72^1 



Pour y parvenir, on remarquera d'abord que l'équation 



tangs X langmz := h, 



où m et h sont positifs, a toutes ses racines réelles. En effet, il est évident qu'il en est 

 ainsi pour certaines valeurs particulières de »j ; d'autre part, on peut établir que, si 

 la propriété est vérifiée pour une valeur «!„, il en est de même pour la valeur ni„ -+- dm. 

 On en déduit que toutes les racines sont réelles, quel que soit m. 



Ceci posé, si, à la fonction holomorphe 



t:{z) = (eJ"'— e-J"~) (eJ''-— e-J''~) -h h{eJ'"-i- e'J"-) (eJ''' -h e-J''-) 



qui s'annule pour les racines de (E) et pour elles seules, on associe la 

 fonction^ ( = ) =2(1 + /^)e~■'"^e~^*', qui satisfaitaux inégalités indiquées par 



M. E. Picard, on s'aperçoit que l'intervalle — /, , -l- /, + li v/rV(^^ — ^1) 



dans lequel il faut effectuer le développement, est précisément l'interval 

 limite, que nous avons défini précédemment à propos des lignes homogènes. 

 Le procédé que nous avons indiqué pour la représentation d'une fonction 

 dans cet intervalle s'applique donc ici et permet de déterminer les coef- 

 ficients cherchés. 



Nous nous réservons de montrer prochainement le parti qu'on peut tirer 

 de la solution ci-dessus au point de vue physique et plus spécialement dans 

 le cas où les conditions initiales présentent des discontinuités. 



