SÉANCE DU l8 MAI I9l4- ^4^7 



Vient ensuite une région perturbée; deux satellites sont remplacés par 

 trois et deux autres par un seul ; il est à remarquer que les satellites Titan 

 et Japet, qui en sont résultés, sont d'une importance extraordinaire, étant 

 comparables à Mars et à Mercure. 



La régularité semble se rétablir pour le satellite extrême Pbébé. 



ANALYSE MATHÉMAiiQUii. — Sur les fondions à singularités discontinues. 

 Note de M. W. GoLOUBErF, présentée par M. Emile Picard. 



On doit à M. Pompeiii un exemple d'une fonction analytique partout 

 continue, dont les points singuliers forment un ensemble parfait partout 

 discontinu. Cet exemple est formé à l'aide de l'intégrale de M. Lebesgue; 

 le fait que l'ensemble des points singuliers est d'aire différente de zéro, est 

 essentiel pour la formation de cet exemple ('). 



Dans la présente Note, je veux donner un exemple d'une fonction ana- 

 logue dans le cas, où l'ensemble est d'aire nulle. 



Supposons, qu'on forme sur l'axe des x (du plan u = x + iy) dans l'in- 

 tervalle (o,i) un ensemble E^ parfait, partout discontinu et de mesure nulle, 

 qu'on peut former, par exemple, à l'aide de subdivisions en trois parties; de 

 même, on forme sur l'axe des j dans l'intervalle (o,i) un autre ensemble E^ 

 de mesure/? ^T^o. T^'ensemble de tous les points u = a; -t-ij, où ^r appartient 

 à l'ensemble E,. et V à l'ensemble Ej, nous donnera un ensemble E d'aire 

 nulle. 



Considérons l'axe des :;, perpendiculaire au plan xy\ dans le plan r^, 

 prenons une courbe scalaire de M. Cantor, définie dans l'intervalle 

 x = o, x = \ (-). Alors, aux points E^, correspondront sur cette courbe des 

 points, formant un ensemble E^ ; on peut voir facilement, que mes E',. = i. 



Sur la courbe de M. Cantor, nous pouvons construire une surface cylin- 

 drique, dont les génératrices sont parallèles à l'axe des y\ soit S cette 

 surface. 



Prenons sur S un ensemble de points C, qui a pour projection sur le 

 plan xy l'ensemble E; il est évident que cet ensemble est d'aire /a La posi- 

 tion d'un point sur S est définie par j et s, où s est la longueur de la courbe 

 de M. Cantor, prise entre l'origine et un point variable sur la courl)e. On 

 peut alors regarder x -f- iy comme une fonction de 5 et dey : x {s) -l- ly. 



(') PoMPEiii, Thèse. — Dknjoy, Comptes rendus, 3 mai 1909. 



(-) \oir, par exemple, Zoreiti, Leçons sur le prolongement analytique, p. 12. 



