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Prenons la fonction 



OÙ l'intégrale est pris sur la surface S et (^(^s,y) désigne une fonction égale 

 à l'unité pour les points de l'ensemble C et égale à zéro pour les autres 

 points. #,(//) est une fonction analytique uniforme de ii et l'on peut démon- 

 trer que : 



1° ^,(u) n'est pas une constante; 



2° Les points singuliers de §f(ii) sont les points de l'ensemble E; 



3" ^f(ii) est une fonction continue de u. 



On peut, en efl'et, démontrer que 



l.f,(")-''^.(",)|<K Vl".-"!, 



où K est une constante numérique. 



On peut appliquer la même mélbode pour la construction des fonctions, 

 dont les points singuliers forment un ensemble parfait partout discontinu 

 de mesure linéaire nulle. Par exemple, la fonction 



(«)=/ 



X (s) — u' 



où l'intégrale est pris le long de la courbe de M. Cantor et <f{s) est une 

 fonction égale à l'unité pour les points E'^. et égale à zéro pour les autres 

 points de la courbe. On peut construire la fonction F, (u) à l'aide de F, («), 

 en appliquant le tbéorème de M. Hurwitz sur l'addition des singularités ('). 



On voit facilement qu'on peut étendre cette métbode; on peut, par 

 exemple, construire des fonctions analytiques continues, dont les points 

 singuliers forment un ensemble parfait partout discontinu et les deux pro- 

 jections de cet ensemble sur les axes x ely ont la mesure nulle. 



En appliquant une méthode analogue, on peut former des fonctions 

 analytiques uniformes, qui n'admettent pas de lignes singulières et pour 

 lesquelles l'étoile de M. Mittag-Leffler se trouve dans la partie bornée du 

 plan de la variable indépendante; l'existence de ces fonctions a été indiquée 

 pour la première fois par M. Painlevé (-). 



(' ) Voir par exemple Montel, Leçons sur les séries de polynômes, p. 4i • 

 (-) Painlevé, Sur le développement des fondions analytiques . J'ai donné un tel 

 exemple dans un article qui paraîtra prochainement dans un autre Recueil. 



