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GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur les surfaces engendrées de deux 

 manières dijférenles par le mouvement d'une courbe indéformable. 

 Note de M. L. Bai.lif. 



1. Dans la séance du 27 avril ir)i/|, M. Bertrand Ganibier a fait 

 connaître des surfaces de Tespèce énoncée dans le titre. Il les obtient 

 comme lieu d'une courbe arbitraire tracée sur un cylindre de révolution 

 qu'on fait rouler sur un second cylindre de révolution. Etant déjà 

 parvenu de mon côté à ce résultat, j'attendais pour le publier d'être en 

 mesure de le compléter par les résultats qui vont suivre, lorsque s'est pro- 

 duite la Communication de IVl. Gambier ('). 



Je ne reviendrai donc pas sur la matière même de celte Communication, 

 mais j'indiquerai les cas suivants qui écbappent à son domaine. 



2. En premier lieu, un cône ayant pour base une spirale logarithmique 

 possède, outre ses génératrices rectilignes, toutes ses sections parallèles à 

 la base qui sont des spirales égales. 



Cette propriété peut être généralisée pour ce que j'appellerai un hyper- 

 boloïde spiral, susceptible d'être défini de la manière suivante : 



Prenons, dans deux plans parallèles, deux spirales logaritbnii(jues 

 égales, et sur elles deux points A et A' quelconques. En faisant tourner les 

 rayons vecteurs OA, O'A', d'angles constamment égaux, la surface engen- 

 drée par la droite AA' possède la propriété d'être coupée par des plans 

 parallèles aux plans de hase suivant des spirales égales. 



.3. On peut généraliser les résultats indiqués tout d'abord de la manière 

 suivante : Au lieu de tracer une courbe arhilraire sur le cylindre de révo- 

 lution qu'on fait rouler sur un cylindre fixe, on peut prendre pour cette 

 courbe une hélice. Si alors on appelle /■ la distance d'un point quelconque 

 de cette hélice à l'axe du cylindre fixe, et si l'on fait correspondre à ce point 

 celui situé, sur la même perpendiculaire à l'axe, à la distance R telle que 



R = ?('-) 



(') Dans une lellre datée du •>.- décembre iQiS, j'avais conimuni(|iié ces résultais 

 et une partie de ceux qui vont suivre à M. G. Kœnigs, qui avait lui-même, dans la 

 séance du 'i!\ novembre, indiqué le rôle des mouvements doublement décomposables 

 dans la question. 



