SÉANCE DU 25 MAI I9l4- 148^) 



OÙ o représente une fonction arbitraire, les hélices vont toutes se transformer 

 en des courbes éi^ales, nt quant à l'autre famille de courbes égales hori- 

 zontales (qui sont des épi- ou hypocycloïdes) elles vont également se trans- 

 former en courbes égales. Nous avons donc ainsi une nouvelle solution 

 dépendant d' une fonction arbitraire, et présentant par suite le même degré 

 de généralité que celle qui résulte du roulement des cylindres. 



\. Reprenons notre cône droit à base spirale logarithmique, c'est-à-dire 

 tel que la normale issue du sommet au plan de base passe au pcMe de celle- 

 ci. 



.Appliquons la même transformation 



par rapport à cette normale prise comme axe. 



Toutes les spirales donnent des courbes égales. 



Quant aux génératrices rectilignes elles ne donnent pas en général des 

 courbes égales. Pour qu'il en soit ainsi il îauX. particulariser la fonction o de 

 façon qu'elle transforme en courbes égales des droites rencontrant l'axe. Sans 

 avoir la solution générale de ce problème, nous en avons une solution 

 particulière en évidence qui est 



o(/-) = log/-, 



puisqu'elle fait correspondre aux droites 



/■ = /. v 

 les courbes 



R = log/- = log(Àa-)= log>, -I- log.r 



qui sont des exponentielles égales et translatées de la quantité variable 

 logA. 



Appliquons ceci au cône logarithmique, il se transforme en une surface 

 dont un système de courbes égales (correspondant aux génératrices recti- 

 lignes du cône) est constitué par des courbes exponentielles. 



L'autre famille de courbes égales est constituée par les transformées des 



spirales logarithmiques 



r — e*'", 



donc 



R=:l0g(e''")=:/.r,j. 



qui sont par suite des spirales d'Archimède. 



5. Au lieu de faire reposer la transformation sur la distance r à un axe, on 



