SÉANCE DU 1^ MAI 19l4- ^487 



OÙ X désigne une variable complexe de module égal à runilé. Ces courbes 

 sunl tracées sur la sphère 



v-~t- Z'— I 



et dépendent de (2 // -K i) paramètres. A chacune d'elles correspond une 

 courbe à torsion constante, dont on peut obtenir explicitement les équations 

 à l'aide des formules 



I z =y I //(^0 .. (^^j 9().) + i. /(?.,,,"{/.) ?(^0j rtt =y"*(>.) dt. 



où 9 (A) est délinie par 



Des courbes F, qui ne sont pas en général unicursales, on peut déduire 

 une infinité de courbes unicursales réelles à torsion constante. Va\ ell'et si 

 l'on change la fonction y'("A) en 



/,(}.) = •/,'"/(/■). 



ni étant entier, l'équation (I) est encore vérifiée ; d'autre part les fonctions 

 '^ (A) el il' (A) se transforment en 



<^, ( >, ) = i" ( >. ) -t- 4 "' /{ >■ )/( g{ ''■ ) ff ( • 



Pour que l'expression nouvelle de X + «Y soit algébrique, il suffit de 

 choisir l'entier /;? de manière qu'aucun des dénominateurs A'' de la fonction 

 placée sous le signe d'intégration ne soit égal à l'unité. Enfin l'expression 

 transformée de Z sera algébrique si dans *P, (X) le terme indépendant de A 

 est nul. En liant le nombre met les paramètres de F par une relation simple, 

 on obtient donc une infinité de courbes réelles unicursales à loi'sion constante, 

 dépondant de (■m + i ) paramètres. 



Le cas le plus simple dans cette théorie est celui oùy'(À), g(A) sont des 

 polynômes du premier degré en k. On retrouve alors des courbes obtenues 

 depuis longtemps déjà par M. Fabry. 



2" (^)uant à la recherche des fonctions /(x), ii'(x) ayant la forme (i) et 



